Просмотр исходного текста страницы Вероятность/Задачи/coin-game-n-k/Решение Бескровного А.

Похоже, в задаче полагается, что есть человек-бросатель, который бросает, т.к., судя по условию задачи, в раунде побеждает один человек.

В таком случае нам просто нужно найти вероятность того, что у игрока после n + k ходов будет k побед, причем k-й раунд для него был проигрышным (т.к. это был последний раунд и в нем узналось, что он проиграл).

Итак, у нас есть цепь из n + k чисел, 0 - если игрок в этом раунде проиграл, 1 - если выиграл.
Нужно найти вероятность того, что после игры в такой цепи (длиной n + k) для игрока будет k единиц, n нулей и последний элемент - нуль.

Посчитаем общее число цепей. Понятно, что в цепи должно быть n нулей, т.к. игрок проигравший. Последняя цифра - нуль. Всего игрок мог выиграть l раундов, где l = 0, 1, ... , n - 1. В каждой такой ситуации в игре будет n + l шагов. Значит для каждого s всего возможных цепей - число разбиений n + l - 1 по l - 1 (т.е. мы выбираем, куда поставить l - 1 нулей в цепи без последнего члена, который заведомо нуль, всего в такой цепи как раз l нулей и ее длина n + l). А все возможные варианты - это сумма таких разбиений при l = 0, 1, ... , n - 1.

Теперь посчитаем успешные исходы.
Это все цепи длины n + k  с k нулями и последним нулем. Их число - число сочетаний из n + k - 1 по k - 1, аналогично предыдущим рассуждениям.

Итак, мы получаем ответ:

<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+k - 1}^{k}}{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}\]</latex>