Просмотр исходного текста страницы Поиск кратчайших путей:алгоритм Флойда-Уоршолла

Алгоритм Флойда-Уоршолла (Floyd-Warshall) предназначен для решения задачи поиска кратчайших путей в графе — ''Shortest Path Problem''. В отличие от [[Поиск кратчайших путей:алгоритм Дейкстры|алгоритма Дейкстры]], он находит все кратчайшие пути в графе, к тому же, допускает наличие отрицательных весов (расстояний) на ребрах графа, при условии, что в графе не образуется циклов отрицательной длины (т. е. невозможно бесконечно уменьшать расстояние между некоторыми точками).

В этом алгоритме, для графа <math>G=(V,E)</math> последовательно выполняются <math>n=|V|</math> итераций, улучшая матрицу <math>D_{ij}</math> минимальных стоимостей пути из вершины ''i'' в вершину ''j'', с возможным использованием (для ''k''-той итерации) промежуточных вершин из множества <math>1,\dots,k</math>. Вычислять эту матрицу очень легко, изначально она определяется весовой функцией ребер, <math>D^0_{ij}=w_{ij}</math>, для тех ''i'' и ''j'', для которых есть ребро ''(i,j)'', и <math>+\infty</math> для остальных.
Обновление этой матрицы на ''k''-той итерации происходит по очевидной формуле:
<math>D^k_{ij}=min(D^{k-1}_{ij},D^{k-1}_{ik}+D^{k-1}_{kj})</math>, где <math>D^{k-1}</math> — значение этой матрицы на предыдущей итерации.
Таким образом, очевидна и корректность алгоритма, и его сложность, состовляющая <math>O(n^3)</math>. 

<code-python>
# Находит стоимость кратчайшего пути для всех пар вершин.
# Выбор и хранение самих оптимальных путей не показаны для простоты. 
def floyd_warshal(G):
    N = G.number_of_nodes()
    # Инициализируем матрицу $D$ расстояниями, используем $777$ как $\infty$.
    D = (ones((N,N))-identity(N))*777
    for e in G.edges():
        D[e[0],e[1]]=e[2]
    print D    
    for k in range(0,N):
        print; print "Iteration: k=",k
        D_old=array(D)              #Сохраняем $D_{k-1}$ в $D_{old}$
        for v1 in range(0,N):
            for v2 in range (0,N):
                D[v1,v2]=min(D[v1,v2],D_old[v1,k]+D_old[k,v2])    
        if D<>D_old:
            print D-D_old        
        else:
            print "D remains unchanged"
    print; print; print D
    return D
</code-python>

 [[  0,777,777,777, 80,]
  [ 60,  0, -5, 50, 10,]
  [777, 10,  0,777,777,]
  [ 50, 30, 20,  0, 30,]
  [777, 15, 15,777,  0,]]

 Iteration: k= 0
 D remains unchanged

 Iteration: k= 1
 [[   0,   0,  -5,   0,   0,]
  [   0,   0,   0,   0,   0,]
  [-707,   0,   0,-717,-757,]
  [   0,   0,   0,   0,   0,]
  [-702,   0,  -5,-712,   0,]]

 Iteration: k= 2
 D remains unchanged

 Iteration: k= 3
 D remains unchanged

 Iteration: k= 4
 [[   0,-682,-682,-632,   0,]
  [   0,   0,   0,   0,   0,]
  [   0,   0,   0,   0,   0,]
  [   0,   0,   0,   0,   0,]
  [   0,   0,   0,   0,   0,]]

 [[  0, 95, 90,145, 80,]
  [ 60,  0, -5, 50, 10,]
  [ 70, 10,  0, 60, 20,]
  [ 50, 30, 20,  0, 30,]
  [ 75, 15, 10, 65,  0,]]


<graphviz>
digraph G{ rankdir=TB; 
 0 [label="NY(0)"];
 1 [label="Moscow(1)"];
 2 [label="Minsk(2)"];
 3 [label="Berlin(3)"];
 4 [label="Kiev(4)"];
 0 -> 4[fontcolor="blue",label="$80",style=solid]; 
 1 -> 0[fontcolor="blue",label="$60",style=solid]; 
 3 -> 0[fontcolor="blue",label="$50",style=solid]; 
 1 -> 2[fontcolor="blue",label="$-5",style=solid]; 
 1 -> 3[fontcolor="blue",label="$50",style=solid]; 
 1 -> 4[fontcolor="blue",label="$10",style=solid]; 
 2 -> 1[fontcolor="blue",label="$10",style=solid]; 
 3 -> 1[fontcolor="blue",label="$30",style=solid]; 
 4 -> 1[fontcolor="blue",label="$15",style=solid]; 
 3 -> 2[fontcolor="blue",label="$20",style=solid]; 
 4 -> 2[fontcolor="blue",label="$15",style=solid]; 
 3 -> 4[fontcolor="blue",label="$30",style=solid]; 
 0 -> 1[fontcolor="red",label="$95",style=dashed]; 
 0 -> 2[fontcolor="red",label="$90",style=dashed]; 
 0 -> 3[fontcolor="red",label="$145",style=dashed]; 
 2 -> 0[fontcolor="red",label="$70",style=dashed]; 
 2 -> 3[fontcolor="red",label="$60",style=dashed]; 
 2 -> 4[fontcolor="red",label="$20",style=dashed]; 
 4 -> 0[fontcolor="red",label="$75",style=dashed]; 
 4 -> 2[fontcolor="red",label="$10",style=dashed]; 
 4 -> 3[fontcolor="red",label="$65",style=dashed]; 
} 
</graphviz>






[[Category:Алгоритмы]]

{{replicate-from-custiswiki-to-lib}}