Вероятность/Задачи/coin-game-n-k/Решение Бескровного А. - История изменений

Aimly в 20:54, 30 июня 2013

2013-06-30T20:54:55Z

Aimly в 20:48, 30 июня 2013

2013-06-30T20:48:05Z

Aimly в 20:47, 30 июня 2013

2013-06-30T20:47:39Z

Aimly в 20:47, 30 июня 2013

2013-06-30T20:47:07Z

Aimly в 20:46, 30 июня 2013

2013-06-30T20:46:14Z

Aimly в 20:44, 30 июня 2013

2013-06-30T20:44:55Z

Aimly в 20:41, 30 июня 2013

2013-06-30T20:41:37Z

Aimly в 20:36, 30 июня 2013

2013-06-30T20:36:06Z

Aimly: Новая страница: «Похоже, в задаче полагается, что есть человек-бросатель, который бросает, т.к., судя по усл…»

2013-06-30T20:34:06Z

Новая страница: «Похоже, в задаче полагается, что есть человек-бросатель, который бросает, т.к., судя по усл…»

Новая страница

Похоже, в задаче полагается, что есть человек-бросатель, который бросает, т.к., судя по условию задачи, в раунде побеждает один человек.

В таком случае нам просто нужно найти вероятность того, что у игрока после n+k ходов будет k побед, причем k-й раунд для него был проигрышным (т.к. это был последний раунд и в нем узналось, что он проиграл).

Итак, у нас есть цепь из n+k чисел, 0 - если игрок в этом раунде проиграл, 1 - если выиграл.
Нужно найти вероятность того, что после игры в такой цепи (длиной n+k) для игрока будет k единиц, n нулей и последний элемент - нуль.

Посчитаем общее число цепей. Понятно, что в цепи должно быть n нулей, т.к. игрок проигравший. Последняя цифра - нуль. Всего игрок мог выиграть s раундов, где s = 0, 1, ... , n - 1. В каждой такой ситуации в игре будет n+s шагов. Значит для каждого s всего возможных цепей - число разбиений n+s-1 по s-1 (т.е. мы выбираем, куда поставить s-1 нулей в цепи без последнего члена, который заведомо нуль, всего в такой цепи как раз s нулей и ее длина n+s). А все возможные варианты - это сумма таких разбиений при s = 0, 1, ... , n-1.

Теперь посчитаем успешные исходы.
Это все цепи длины n+k с k нулями и последним нулем. Их число - число сочетаний из n+k-1 по k-1, аналогично предыдущим рассуждениям.

Итак, мы получаем ответ:

← Предыдущая		Версия 20:54, 30 июня 2013
Строка 14:		Строка 14:

	<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+k - 1}^{k}}{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}\]</latex>		<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+k - 1}^{k}}{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}\]</latex>
		+
		+
		+
		+
		+	P.S. Решение неверное, можете не проверять.

← Предыдущая		Версия 20:48, 30 июня 2013
Строка 12:		Строка 12:

	Итак, мы получаем ответ:		Итак, мы получаем ответ:
−
−	~~<math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math>~~

	<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+k - 1}^{k}}{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}\]</latex>		<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+k - 1}^{k}}{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}\]</latex>

← Предыдущая		Версия 20:47, 30 июня 2013
Строка 15:		Строка 15:
	<math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math>		<math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math>

−	<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+~~\ell~~ - 1}^{~~\ell~~}}{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}\]</latex>	+	<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+k - 1}^{k}}{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}\]</latex>

← Предыдущая		Версия 20:47, 30 июня 2013
Строка 15:		Строка 15:
	<math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math>		<math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math>

−	<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}{2^{2\ell - 1}}\]</latex>	+	<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}\]</latex>

← Предыдущая		Версия 20:46, 30 июня 2013
Строка 15:		Строка 15:
	<math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math>		<math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math>

−	<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+\ell - 1}^{\ell~~}C_{\ell - 1}^{n - 1~~}}{2^{2\ell - 1}}\]</latex>	+	<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+\ell - 1}^{\ell}}{2^{2\ell - 1}}\]</latex>

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Нужно найти вероятность того, что после игры в такой цепи (длиной n + k) для игрока будет k единиц, n нулей и последний элемент - нуль.
-Посчитаем общее число цепей. Понятно, что в цепи должно быть n нулей, т.к. игрок проигравший. Последняя цифра - нуль. Всего игрок мог выиграть s раундов, где s = 0, 1, ... , n - 1. В каждой такой ситуации в игре будет n + s шагов. Значит для каждого s всего возможных цепей - число разбиений n + s - 1 по s - 1 (т.е. мы выбираем, куда поставить s - 1 нулей в цепи без последнего члена, который заведомо нуль, всего в такой цепи как раз s нулей и ее длина n + s). А все возможные варианты - это сумма таких разбиений при s = 0, 1, ... , n - 1.
+Посчитаем общее число цепей. Понятно, что в цепи должно быть n нулей, т.к. игрок проигравший. Последняя цифра - нуль. Всего игрок мог выиграть l раундов, где l = 0, 1, ... , n - 1. В каждой такой ситуации в игре будет n + l шагов. Значит для каждого s всего возможных цепей - число разбиений n + l - 1 по l - 1 (т.е. мы выбираем, куда поставить l - 1 нулей в цепи без последнего члена, который заведомо нуль, всего в такой цепи как раз l нулей и ее длина n + l). А все возможные варианты - это сумма таких разбиений при l = 0, 1, ... , n - 1.
 Теперь посчитаем успешные исходы.
@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 <math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math>
-<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n}^{k}C_{\ell - 1}^{n - 1}}{2^{2\ell - 1}}\]</latex>
+<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n+\ell - 1}^{\ell}C_{\ell - 1}^{n - 1}}{2^{2\ell - 1}}\]</latex>

← Предыдущая		Версия 20:41, 30 июня 2013
Строка 12:		Строка 12:

	Итак, мы получаем ответ:		Итак, мы получаем ответ:
		+
		+	<math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math>
		+
		+	<latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n}^{k}C_{\ell - 1}^{n - 1}}{2^{2\ell - 1}}\]</latex>

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 Похоже, в задаче полагается, что есть человек-бросатель, который бросает, т.к., судя по условию задачи, в раунде побеждает один человек.
-В таком случае нам просто нужно найти вероятность того, что у игрока после n+k ходов будет k побед, причем k-й раунд для него был проигрышным (т.к. это был последний раунд и в нем узналось, что он проиграл).
+В таком случае нам просто нужно найти вероятность того, что у игрока после n + k ходов будет k побед, причем k-й раунд для него был проигрышным (т.к. это был последний раунд и в нем узналось, что он проиграл).
-Итак, у нас есть цепь из n+k чисел, 0 - если игрок в этом раунде проиграл, 1 - если выиграл.
+Итак, у нас есть цепь из n + k чисел, 0 - если игрок в этом раунде проиграл, 1 - если выиграл.
-Нужно найти вероятность того, что после игры в такой цепи (длиной n+k) для игрока будет k единиц, n нулей и последний элемент - нуль.
+Нужно найти вероятность того, что после игры в такой цепи (длиной n + k) для игрока будет k единиц, n нулей и последний элемент - нуль.
-Посчитаем общее число цепей. Понятно, что в цепи должно быть n нулей, т.к. игрок проигравший. Последняя цифра - нуль. Всего игрок мог выиграть s раундов, где s = 0, 1, ... , n - 1. В каждой такой ситуации в игре будет n+s шагов. Значит для каждого s всего возможных цепей - число разбиений n+s-1 по s-1 (т.е. мы выбираем, куда поставить s-1 нулей в цепи без последнего члена, который заведомо нуль, всего в такой цепи как раз s нулей и ее длина n+s). А все возможные варианты - это сумма таких разбиений при s = 0, 1, ... , n-1.
+Посчитаем общее число цепей. Понятно, что в цепи должно быть n нулей, т.к. игрок проигравший. Последняя цифра - нуль. Всего игрок мог выиграть s раундов, где s = 0, 1, ... , n - 1. В каждой такой ситуации в игре будет n + s шагов. Значит для каждого s всего возможных цепей - число разбиений n + s - 1 по s - 1 (т.е. мы выбираем, куда поставить s - 1 нулей в цепи без последнего члена, который заведомо нуль, всего в такой цепи как раз s нулей и ее длина n + s). А все возможные варианты - это сумма таких разбиений при s = 0, 1, ... , n - 1.
 Теперь посчитаем успешные исходы.
-Это все цепи длины n+k  с k нулями и последним нулем. Их число - число сочетаний из n+k-1 по k-1, аналогично предыдущим рассуждениям.
+Это все цепи длины n + k  с k нулями и последним нулем. Их число - число сочетаний из n + k - 1 по k - 1, аналогично предыдущим рассуждениям.
 Итак, мы получаем ответ: