Вероятность/Задачи/eupce-2-4 — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
 
Докажите, что  <m>E[X^k] ≥ E[X]^k</m> для любого целого <m>k ≥ 1</m>.
 
Докажите, что  <m>E[X^k] ≥ E[X]^k</m> для любого целого <m>k ≥ 1</m>.
  
 +
 +
Это справевливо только если <m>X \ge 0</m>.
 +
Пусть это так, тогда воспользуемся неравенством Йенсена, которое говорит о том, что
 +
<m>E[f(X)] \ge f(E[X])</m>, где f - выпуклая функция, и <m>f(x) = x^k</m> - выпуклая функция <m>\forall k \ge 1, \forall x \ge 0</m>, но это не так для <m>x \le 0</m>.
 +
 +
Тогда скажем, что <m>f(x) = x^k</m> и отсюда следует <m>E[X^k] ≥ E[X]^k</m>
 +
{{checkme}}
 
{{reserve-task|Ermakov}}
 
{{reserve-task|Ermakov}}
  
 
[[Категория:Теоретические задачи]]
 
[[Категория:Теоретические задачи]]

Версия 15:43, 8 мая 2024


Докажите, что для любого целого .


Это справевливо только если . Пусть это так, тогда воспользуемся неравенством Йенсена, которое говорит о том, что , где f - выпуклая функция, и - выпуклая функция , но это не так для .

Тогда скажем, что и отсюда следует Check-me-animated.gif Решено: {{{1}}}

Задача зарезервирована: Ermakov