Полиномиальные сводимости и NP-полные задачи. Классы NP, coNP, NPC/Задачи/Packing=MaxClique — различия между версиями
Tsyganova (обсуждение | вклад) |
Tsyganova (обсуждение | вклад) |
||
Строка 15: | Строка 15: | ||
в) Полученные непересекающиеся подмножества образуют клику в исходном графе. Очевидно, что если мы искали максимальное число попарно непересекающихся подмножеств, то и соответствующая им клика тоже будет максимальной. Итого задача о нахождении максимальной клики сводится за полиномиальное время к задаче об упаковке. | в) Полученные непересекающиеся подмножества образуют клику в исходном графе. Очевидно, что если мы искали максимальное число попарно непересекающихся подмножеств, то и соответствующая им клика тоже будет максимальной. Итого задача о нахождении максимальной клики сводится за полиномиальное время к задаче об упаковке. | ||
− | 2) Упаковка -> клика. | + | 2) Упаковка -> клика. Пусть есть некоторый набор из n подмножеств. Пронумеруем их от 1 до n. Построим граф "пересекаемости множеств". Каждая вершина графа будет обозначать собой множество, и вершины будут соединены, если множества пересекаются. |
+ | |||
+ | После построения графа будем строить дополнение к нему и искать максимальную клику в графе-дополнении. Вершины, входящие в максимальную клику, будут теми попарно непересекающимися множествами, которые надо было найти. Итого задача об упаковки сводится к задаче о нахождении максимальной клики. Покажем, что это действительно полиномиальное сведение: граф строится за <latex> $n^2$</latex>, дополнение к нему - за <latex> $n^2$</latex>. Итого за <latex> $n^2$</latex> операций одну задачу можно свести к другой. | ||
[[Category:На проверку]] | [[Category:На проверку]] |
Версия 16:25, 1 декабря 2014
Цыганова Светлана, 974гр.
Задача Покажите, что задача об упаковке (в заданном семействе подмножеств найти максимальное число попарно непересекающихся подмножеств) полиномиально эквивалентна задаче о нахождении максимальной клики в графе.
Решение
1) Клика -> упаковка. Пусть у нас задан граф на n вершинах, на котором необходимо найти максимальную клику. Сведем задачу к задаче нахождения максимального числа попарно несересекающихся множеств. Для этого воспользуемся тем фактом, что множество вершин независимо тогда и только тогда, когда оно является кликой в дополнении графа. Тогда будем действовать по следующему алгоритму:
a) Построим дополнение к исходному графу (Это займет полиномиальное время, например, самый простой способ займет ).
б) Найдем на графе-дополнении максимальное число попарно непересающихся подмножеств на, где каждое подмножество обозначается отдельной вершиной. Если какие-то два подмножества пересекаются, это значит, что они соединены ребром на графе.
в) Полученные непересекающиеся подмножества образуют клику в исходном графе. Очевидно, что если мы искали максимальное число попарно непересекающихся подмножеств, то и соответствующая им клика тоже будет максимальной. Итого задача о нахождении максимальной клики сводится за полиномиальное время к задаче об упаковке.
2) Упаковка -> клика. Пусть есть некоторый набор из n подмножеств. Пронумеруем их от 1 до n. Построим граф "пересекаемости множеств". Каждая вершина графа будет обозначать собой множество, и вершины будут соединены, если множества пересекаются.
После построения графа будем строить дополнение к нему и искать максимальную клику в графе-дополнении. Вершины, входящие в максимальную клику, будут теми попарно непересекающимися множествами, которые надо было найти. Итого задача об упаковки сводится к задаче о нахождении максимальной клики. Покажем, что это действительно полиномиальное сведение: граф строится за , дополнение к нему - за . Итого за операций одну задачу можно свести к другой.