Участник:Nikitashapovalov/ТеорУпражнения/Полиномиальные сводимости и NP-полные задачи. Классы NP, coNP, NPC/Задачи/conp-as-yes — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 14: Строка 14:
 
<latex>
 
<latex>
  
−
Предположим, что язык $L$ лежит в классе co-NP. Это означает, что для каждой строки, не принадлежащей языку $L$, существует доказательство, которое можно проверить за полиномиальное время. Мы должны показать, что если существует недетерминированная машина \(M\), которая работает за время, ограниченное полиномом $p(n)$, то язык $L$ лежит в ко-NP
+
Необходимо доказать двустороннее утверждение:
  
−
Предположим, что строка $x$ принадлежит языку $L$. Это означает, что для всех путей вычисления машины $M(x)$ результат будет «1». То есть машина $M$ всегда заканчивает вычисления с ответом «1» для всех путей, если вход $x \in L$
+
\begin{enumerate}
 +
    \item $ L \in co\text{-}NP \implies \exists M$
 +
    \item $ \exists M \implies L \in co\text{-}NP$
 +
\end{enumerate}
  
−
Теперь рассмотрим случай, когда строка $x \notin L$. В этом случае, существует хотя бы один путь вычисления машины $M(x)$, который не приводит к ответу «1». Таким образом, для строки $x \notin L$ можно найти путь вычисления, который подтверждает, что $x$ не принадлежит языку $L$
+
\subsection*{1. $ L \in co\text{-}NP \implies \exists M$}
  
−
Машина $M$ является недетерминированной, что означает, что она может "угадать" один из возможных путей вычисления. Для строки $x \in L$ машина может угадать правильный путь, который приведет к ответу «1», и таким образом мы можем подтвердить, что $x \in L$. Если же $x \notin L$, то хотя бы один путь не приведет к «1», и машина сможет найти такой путь, что его проверка покажет, что $x$ не принадлежит $L$
+
Допустим, что язык $L$ лежит в $co\text{-}NP $. Это означает, что существует недетерминированная машина $M $, которая решает язык $L$, и существует полиномиальная функция $p(n)$, такая что время работы $M$ ограничено этой функцией для входов длины $n $
  
−
Важно отметить, что проверка этого пути займет полиномиальное время, так как машина $M$ останавливается за время, ограниченное полиномом $p(n)$, для всех входов длины $n$
+
Если строка $x \in L $, то существует доказательство, которое можно проверить за полиномиальное время, подтверждающее, что $x \in L $. Если же $ x \notin L $, то для этой строки существует доказательство, что $x \notin L $, и это доказательство также можно проверить за полиномиальное время
 +
 
 +
Предположим, что существует недетерминированная машина $M$, которая, принимая на вход строку $x $, решает, принадлежит ли $ x $ языку $L $. Время работы $ M $ ограничено полиномом $ p(n)$, где $n $ — длина строки $x$
 +
 
 +
Для всех входов $ x$, если $x \in L$, то машина $ M $ завершает выполнение за время $ p(n) $, и все пути вычислений приводят к ответу "1". Если же $ x \notin L $, то существует хотя бы один путь вычислений, который не приводит к ответу "1". Таким образом, язык $L$ состоит только из тех строк $ x $, для которых все пути вычислений приводят к ответу "1", что и требовалось доказать
 +
 
 +
\subsection*{2. $ \exists M \implies L \in co\text{-}NP$}
 +
 
 +
Теперь предположим, что существует недетерминированная машина $M$, которая решает язык $ L $ за время $ p(n) $, и все пути вычислений для строки $ x$ приводят к ответу "1", если $x \in L $
 +
 
 +
Тогда, поскольку решение задачи для $x \in L $ можно проверить за полиномиальное время с использованием машины $M$, это доказывает, что язык $L $ находится в классе $NP $
 +
 
 +
Если бы $x \notin L$, то для этого входа $x $ можно было бы получить доказательство того, что $ x \notin L$, которое также можно проверять за полиномиальное время. Таким образом, $L$ лежит в $co\text{-}NP$
 +
 
 +
\section*{Заключение}
 +
 
 +
Таким образом, язык $L$ лежит в $ co\text{-}NP$ тогда и только тогда, если существует недетерминированная машина $M$, которая останавливается за полиномиальное время $  p(n)  $ для всех входов длины $n$, и все пути вычислений $M(x)$ приводят к ответу "1" для строк $ x \in L$
  
−
Таким образом, мы показали, что существует недетерминированная машина $M$, которая может за полиномиальное время подтвердить, принадлежит ли строка $x$ языку $L$ или нет, что означает, что язык $L$ принадлежит классу co-NP
 
  
 
</latex>
 
</latex>
  
 
{{checkme|[[Участник:Nikitashapovalov|Nikitashapovalov]] 14:11, 20 декабря 2024 (UTC)}}
 
{{checkme|[[Участник:Nikitashapovalov|Nikitashapovalov]] 14:11, 20 декабря 2024 (UTC)}}

Версия 14:17, 20 декабря 2024

Условие

Покажите, что язык L лежит в co-NP тогда и только тогда, если существует недетерминированная машина M, и полином p, такой, что M останавливается за время p(n) для всех входов x длины n, и L состоит точно только из таких строк x, у которых все пути вычисления M(x) приводят к ответу «1».

Решение

Check-me-animated.gif Решено: Nikitashapovalov 14:11, 20 декабря 2024 (UTC)

Источник — «https://discopal.ispras.ru/index.php?title=Участник:Nikitashapovalov/ТеорУпражнения/Полиномиальные_сводимости_и_NP-полные_задачи._Классы_NP,_coNP,_NPC/Задачи/conp-as-yes&oldid=34478»