2001-gre-math.pdf/Q53 — различия между версиями
Материал из DISCOPAL
StasFomin (обсуждение | вклад) |
|||
| (не показана 1 промежуточная версия 1 участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Вопрос: Q53-19def7 == | == Вопрос: Q53-19def7 == | ||
| − | В комплексной плоскости, пусть <m>C</m> | + | В комплексной плоскости, пусть <m>C</m> — окружность <m>|z| = 2</m> с положительной ориентацией. |
| − | <m>\int_C \frac{dz}{(z - 1)(z + 3)^2} =</m> | + | Тогда <m>\int_C \frac{dz}{(z - 1)(z + 3)^2} =</m> |
| + | |||
=== Ответы === | === Ответы === | ||
* <m>0</m> | * <m>0</m> | ||
| − | * <m>2\pi i</m> | + | * <m>2\pi i</m> |
* <m>\frac{\pi i}{2}</m> | * <m>\frac{\pi i}{2}</m> | ||
* Правильный ответ: <m>\frac{\pi i}{8}</m> | * Правильный ответ: <m>\frac{\pi i}{8}</m> | ||
* <m>\frac{\pi i}{16}</m> | * <m>\frac{\pi i}{16}</m> | ||
| + | |||
=== Объяснение === | === Объяснение === | ||
| − | + | {{cstest-source|2001-gre-math.pdf|46|53}} | |
| − | {{cstest-source|2001-gre-math.pdf| | + | |
| − | + | Воспользуемся вычислением интеграла с помощью вычетов: | |
| − | + | <m>\int_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{res} f(z)|_{z=z_k}, z_k \in D</m> | |
| − | + | , где <m>D</m> — область, ограниченная контуром <m>C</m>. Тогда, <m>\int_C \frac{dz}{(z - 1)(z + 3)^2} = 2\pi i \text{ res} f(z)|_{z=1}</m>. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | Вычет найдем, используя ''sympy''. | ||
<code-python> | <code-python> | ||
from sympy import * | from sympy import * | ||
| − | + | z = symbols('z') | |
| + | f = 1 / ((z - 1) * (z + 3)**2) | ||
| + | residue(f, z, 1) | ||
</code-python> | </code-python> | ||
| − | + | {{question-ok|[[Участник:StasFomin|StasFomin]] 18:58, 7 января 2025 (UTC)}} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | {{ | + | |
| − | + | ||
[[Категория:Математика]] | [[Категория:Математика]] | ||
Текущая версия на 18:58, 7 января 2025
Вопрос: Q53-19def7
В комплексной плоскости, пусть — окружность с положительной ориентацией. Тогда
Ответы
- Правильный ответ:
Объяснение
Исходники — вопрос 53 на 46 странице книги «2001-gre-math.pdf»
Воспользуемся вычислением интеграла с помощью вычетов: , где — область, ограниченная контуром . Тогда, .
Вычет найдем, используя sympy.
from sympy import * z = symbols('z') f = 1 / ((z - 1) * (z + 3)**2) residue(f, z, 1)