2001-gre-math.pdf/Q44 — различия между версиями
Материал из DISCOPAL
StasFomin (обсуждение | вклад) |
|||
| (не показана 1 промежуточная версия 1 участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Вопрос: Q44-19def7 == | == Вопрос: Q44-19def7 == | ||
Пусть <m>f(x) = (\sqrt{x})^x</m>, <m>x>0</m>. Что из перечисленного является НЕВЕРНЫМ? | Пусть <m>f(x) = (\sqrt{x})^x</m>, <m>x>0</m>. Что из перечисленного является НЕВЕРНЫМ? | ||
| + | |||
=== Ответы === | === Ответы === | ||
| − | * | + | * <m>lim_{x \to 0^+} f(x) = 1</m> |
* <m>lim_{x \to \infty} f(x) = \infty</m> | * <m>lim_{x \to \infty} f(x) = \infty</m> | ||
| − | * f(x) = x^{\frac{x}{2}} | + | * <m>f(x) = x^{\frac{x}{2}}</m>, <m>x > 0</m> |
| − | * производная f'(x) положительна при любом x>0 | + | * Правильный ответ: производная <m>f'(x)</m> положительна при любом <m>x>0</m> |
| − | * производная f'(x) является возрастающей функцией при любом x>0 | + | * производная <m>f'(x)</m> является возрастающей функцией при любом <m>x>0</m> |
| − | + | ||
| − | < | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
=== Объяснение === | === Объяснение === | ||
| − | + | {{cstest-source|2001-gre-math.pdf|38|44}} | |
| − | {{cstest-source|2001-gre-math.pdf| | + | * <m>f(x) = x^{\frac{x}{2}}</m>, <m>x > 0</m> — представили степень в виде дроби. Остальное можно проверить с помощью ''sympy''. |
| + | <code-python> | ||
| + | from sympy import * | ||
| + | x = symbols('x') | ||
| + | f = Piecewise((sqrt(x)**x, x > 0)) | ||
| + | f_prime = diff(f, x) | ||
| + | print(solve(f_prime, x)) # shows that derivative is not always positive for x > 0 | ||
| − | + | # f_double_prime = diff(f_prime, x) | |
| + | # print(f_double_prime) # shows that second derivative is positive -> derivative is increasing | ||
| − | + | # lim_zero = limit(sqrt(x)**x, x, oo) | |
| − | + | # print(lim_zero) # shows that limit to zero is equal to 1 | |
| − | + | ||
| − | + | # lim_inf = limit(sqrt(x)**x, x, 0, dir='+') | |
| − | + | # print(lim_inf) # shows that limit to inf is equal to inf | |
| − | + | ||
</code-python> | </code-python> | ||
| − | + | {{question-ok|[[Участник:StasFomin|StasFomin]] 11:00, 8 января 2025 (UTC)}} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | {{ | + | |
| − | + | ||
[[Категория:Математика]] | [[Категория:Математика]] | ||
Текущая версия на 11:00, 8 января 2025
Вопрос: Q44-19def7
Пусть , . Что из перечисленного является НЕВЕРНЫМ?
Ответы
- ,
- Правильный ответ: производная положительна при любом
- производная является возрастающей функцией при любом
Объяснение
Исходники — вопрос 44 на 38 странице книги «2001-gre-math.pdf»
- , — представили степень в виде дроби. Остальное можно проверить с помощью sympy.
from sympy import * x = symbols('x') f = Piecewise((sqrt(x)**x, x > 0)) f_prime = diff(f, x) print(solve(f_prime, x)) # shows that derivative is not always positive for x > 0 # f_double_prime = diff(f_prime, x) # print(f_double_prime) # shows that second derivative is positive -> derivative is increasing # lim_zero = limit(sqrt(x)**x, x, oo) # print(lim_zero) # shows that limit to zero is equal to 1 # lim_inf = limit(sqrt(x)**x, x, 0, dir='+') # print(lim_inf) # shows that limit to inf is equal to inf