2001-gre-math.pdf/Q34 — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 4 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
{{reserve-task|[[Участник:Vkuutop|Vkuutop]] 01:12, 13 января 2025 (UTC)}}== Вопрос: Q34-19def7 ==
+
== Вопрос: Q34-19def7 ==
  
−
Пусть <m>\( f \)</m> — дифференцируемая функция, для которой выполняются условия:
+
Пусть <m>\( f \)</m> — дифференцируемая функция, для которой выполняются условия:
 
<m>
 
<m>
 
\[
 
\[
Строка 9: Строка 9:
  
 
=== Ответы ===
 
=== Ответы ===
−
<latex>
+
* Правильный ответ: <m>\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0 </m>
−
\begin{enumerate}
+
* <m>\lim_{x \to \infty} f''(x) = 0 </m>
−
    \item[(A)] \( \lim_{x \to \infty} f'(x) = 0 \text{ - Правильный ответ} \)
+
* <m>\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} f'(x) </m>
−
    \item[(B)] \( \lim_{x \to \infty} f''(x) = 0 \)
+
* <m>f \text{ является постоянной функцией (константой)} </m>
−
    \item[(C)] \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} f'(x) \)
+
* <m>f' \text{ является постоянной функцией (константой)} </m>
−
    \item[(D)] \( f \text{ является постоянной функцией (константой)} \)
+
 
−
    \item[(E)] \( f' \text{ является постоянной функцией (константой)} \)
+
−
\end{enumerate}
+
−
</latex>
+
  
  
Строка 23: Строка 20:
 
{{cstest-source|2001-gre-math.pdf|32|34}}
 
{{cstest-source|2001-gre-math.pdf|32|34}}
  
−
<latex>
+
Так как <m>\(f(x)\)</m> стремится к конечному пределу, её изменение <m>\(f'(x)\)</m> убывает на бесконечности, следовательно <m>\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0 </m>
−
1. Так как \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) конечен (\(L_1\)), это означает, что функция \(f(x)\) перестаёт возрастать (или убывать) на бесконечности и приближается к своему пределу \(L_1\). 
+
−
    Это возможно только в том случае, если скорость изменения \(f(x)\), описываемая производной \(f'(x)\), убывает к нулю. Следовательно:
+
−
    \[
+
−
    \lim_{x \to \infty} f'(x) = 0.
+
−
    \]
+
−
 
+
−
2. Дополнительные доводы:
+
−
  - Второй предел \(\lim_{x \to \infty} f''(x)\) (\(f''(x)\) — вторая производная) не следует из данного условия, так как не гарантируется равномерное затухание \(f'(x)\). Поэтому утверждение \( \lim_{x \to \infty} f''(x) = 0 \) (ответ B) не обязательно истинно.
+
−
 
+
−
  - Утверждение, что \(f(x) = f'(x)\) на бесконечности (\( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} f'(x) \), ответ C), неверно, так как \(f(x)\) и \(f'(x)\) имеют разные смыслы.
+
−
 
+
−
  - Функция \(f(x)\) (D) или \(f'(x)\) (E) являются постоянными только в частном случае, а общее условие этого не требует.
+
−
 
+
−
### Ответ:
+
−
На основании данных выводов верный вариант:
+
−
\[
+
−
\boxed{\text{(A) } \lim_{x \to \infty} f'(x) = 0.}
+
−
\]
+
  
−
</latex>
+
{{question-ok|[[Участник:StasFomin|StasFomin]] 21:09, 13 января 2025 (UTC)}}
−
{{checkme|[[Участник:Vkuutop|Vkuutop]] 01:21, 13 января 2025 (UTC)}}
+
  
 
[[Категория:Математика]]
 
[[Категория:Математика]]

Текущая версия на 21:09, 13 января 2025

Вопрос: Q34-19def7

Пусть  — дифференцируемая функция, для которой выполняются условия: существуют и являются конечными. Что из следующего верно?

Ответы

  • Правильный ответ:


Объяснение

Исходники — вопрос 34 на 32 странице книги «2001-gre-math.pdf»

Так как стремится к конечному пределу, её изменение убывает на бесконечности, следовательно

Источник — «https://discopal.ispras.ru/index.php?title=2001-gre-math.pdf/Q34&oldid=35827»