Вероятность/Задачи/coin-game-n-k — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
(Массовая правка: добавление Категория:Теоретические задачи)
 
(не показано 15 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
−
<big>Цыганова Светлана, 974гр.</big>
 
−
 
 
Двое играют в игру, бросая честную монету, — каждый раз выигрывает тот, кому выпал «орел».
 
Двое играют в игру, бросая честную монету, — каждый раз выигрывает тот, кому выпал «орел».
 
Игра заканчивается, когда кто-нибудь выиграет <tt>n</tt>-раз.
 
Игра заканчивается, когда кто-нибудь выиграет <tt>n</tt>-раз.
Строка 6: Строка 4:
 
Какова вероятность, что проигравший к концу игры выиграет <tt>k</tt>-раундов?
 
Какова вероятность, что проигравший к концу игры выиграет <tt>k</tt>-раундов?
  
−
'''Решение'''
+
[[Категория:Решенные задачи]]
−
 
+
[[Категория:Теоретические задачи]]
−
Пусть первый всегда говорит "орел", второй - "решка" (иначе можно поменять их местами и ничего не изменится).
+
−
Пусть первый игрок выиграл игру, тогда всегда раундов было (n+k), причем в последнем раунде выпал орел. Тогда различных удовлетворительных вариантов игры, в которой первый выигрывает (и выигрывает n раз), а второй выигрывает k раз будет
+
−
<latex>
+
−
$$
+
−
C_{n+k-1}^k
+
−
$$
+
−
</latex>
+
−
Это очевидно - последний орел, а решек всего k и они могут стоять на любых местах.
+
−
 
+
−
Всего различных вариантов игры может быть, когда k принимает значения от 0 до (n-1). Таких вариантов
+
−
<latex>
+
−
$$
+
−
\sum\limits_{l=0}^{n-1}C_{n+l-1}^l
+
−
$$
+
−
</latex>
+
−
 
+
−
Итого искомая вероятность равна:
+
−
 
+
−
<latex>
+
−
$$
+
−
\frac{C_{n+k-1}^k}{\sum\limits_{l=0}^{n-1}C_{n+l-1}^l}
+
−
$$
+
−
</latex>
+
−
[[Category:На проверку]]
+

Текущая версия на 06:50, 4 мая 2023

Двое играют в игру, бросая честную монету, — каждый раз выигрывает тот, кому выпал «орел». Игра заканчивается, когда кто-нибудь выиграет n-раз.

Какова вероятность, что проигравший к концу игры выиграет k-раундов?

Источник — «https://discopal.ispras.ru/index.php?title=Вероятность/Задачи/coin-game-n-k&oldid=25740»