2001-gre-vs-practice.pdf/Q41 — различия между версиями
StasFomin (обсуждение | вклад) |
Илья52 (обсуждение | вклад) |
||
| (не показана одна промежуточная версия этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Вопрос: Q41-e5724f == | == Вопрос: Q41-e5724f == | ||
| − | {{reserve-task|[[Участник:Илья52|илья52]] 11:05, 21 декабря 2024 (UTC)}} | + | {{checkme|[[Участник:Илья52|илья52]] 21:57, 25 декабря 2024 (UTC)}}{{reserve-task|[[Участник:Илья52|илья52]] 11:05, 21 декабря 2024 (UTC)}} |
| − | + | ||
Пусть <m>A</m> - конечное множество мощности <m>n</m>. Чему равно количество подмножеств <m>S \subseteq A </m> нечетной мощности (число количества элементов множества <m>S</m> нечетное)? | Пусть <m>A</m> - конечное множество мощности <m>n</m>. Чему равно количество подмножеств <m>S \subseteq A </m> нечетной мощности (число количества элементов множества <m>S</m> нечетное)? | ||
| − | + | ||
=== Ответы === | === Ответы === | ||
| Строка 9: | Строка 9: | ||
* <m>n</m> | * <m>n</m> | ||
* <m>2^{\frac{n}{2}}</m> | * <m>2^{\frac{n}{2}}</m> | ||
| − | * <m>2^{n-1}</m> | + | * Правильный ответ: <m>2^{n-1}</m> |
* <m>2^{n}</m> | * <m>2^{n}</m> | ||
* определенной формулы нет | * определенной формулы нет | ||
=== Объяснение === | === Объяснение === | ||
| − | + | {{cstest-source|2001-gre-vs-practice.pdf|34|41}} | |
Количество подмножеств, какого - либо конечного множества равно <m>2^{n}</m>, где <m>n</m> мощность множества. Докажем данную формулу. Упорядочим каким - либо образом все элементы множества <m>A</m>. Сопоставим последовательность нулей и единиц каждому подмножеству следующим образом: если j-ый элемент <m>a_j</m> множества <m>A</m> содержится в подмножестве <m>S \subseteq A </m>, то в последовательности из нулей и единиц будет стоять 1, в противном случае 0. Таким образом, получено взаимно однозначное соответствие между битовыми последовательностями и подмножествами. Битовых последовательностей <m>2^{n}</m>. | Количество подмножеств, какого - либо конечного множества равно <m>2^{n}</m>, где <m>n</m> мощность множества. Докажем данную формулу. Упорядочим каким - либо образом все элементы множества <m>A</m>. Сопоставим последовательность нулей и единиц каждому подмножеству следующим образом: если j-ый элемент <m>a_j</m> множества <m>A</m> содержится в подмножестве <m>S \subseteq A </m>, то в последовательности из нулей и единиц будет стоять 1, в противном случае 0. Таким образом, получено взаимно однозначное соответствие между битовыми последовательностями и подмножествами. Битовых последовательностей <m>2^{n}</m>. | ||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
Выберем произвольный элемент <m>x_0</m>. Тогда подмножеств содержащих <m>x_0</m> столько же сколько и не содержащих: <m>2^{n-1}</m> (вспоминаем битовую последовательность описанную выше). Тогда можно по тому же правилу как и с четным <m>n</m> описать биекцию между подмножествами, т.е. из содержащих <m>x_0</m> в несодержащие, и наоборот. Таким образом вне зависимости от четности <m>n</m> получаем ответ <m>2^{n-1}</m>. | Выберем произвольный элемент <m>x_0</m>. Тогда подмножеств содержащих <m>x_0</m> столько же сколько и не содержащих: <m>2^{n-1}</m> (вспоминаем битовую последовательность описанную выше). Тогда можно по тому же правилу как и с четным <m>n</m> описать биекцию между подмножествами, т.е. из содержащих <m>x_0</m> в несодержащие, и наоборот. Таким образом вне зависимости от четности <m>n</m> получаем ответ <m>2^{n-1}</m>. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
{{question-ok|}} | {{question-ok|}} | ||
Текущая версия на 21:57, 25 декабря 2024
Вопрос: Q41-e5724f
Решено: илья52 21:57, 25 декабря 2024 (UTC)
Задача зарезервирована: илья52 11:05, 21 декабря 2024 (UTC)
Пусть - конечное множество мощности . Чему равно количество подмножеств нечетной мощности (число количества элементов множества нечетное)?
Ответы
- Правильный ответ:
- определенной формулы нет
Объяснение
Исходники — вопрос 41 на 34 странице книги «2001-gre-vs-practice.pdf»
Количество подмножеств, какого - либо конечного множества равно , где мощность множества. Докажем данную формулу. Упорядочим каким - либо образом все элементы множества . Сопоставим последовательность нулей и единиц каждому подмножеству следующим образом: если j-ый элемент множества содержится в подмножестве , то в последовательности из нулей и единиц будет стоять 1, в противном случае 0. Таким образом, получено взаимно однозначное соответствие между битовыми последовательностями и подмножествами. Битовых последовательностей .
Докажем, что четных и нечетных множеств одинаковое количество.
Пусть четное. Установим биекцию между четными и нечетными подмножествами. . Таким образом получаем, что количество четных и нечетных подмножеств одинаковое количество.
Пусть нечетное. Построим разбиение для .
Выберем произвольный элемент . Тогда подмножеств содержащих столько же сколько и не содержащих: (вспоминаем битовую последовательность описанную выше). Тогда можно по тому же правилу как и с четным описать биекцию между подмножествами, т.е. из содержащих в несодержащие, и наоборот. Таким образом вне зависимости от четности получаем ответ .