Вероятность/Задачи/coin-game-n-k/Решение Бескровного А. — различия между версиями
Aimly (обсуждение | вклад) |
Aimly (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
Итак, мы получаем ответ: | Итак, мы получаем ответ: | ||
| + | |||
| + | <math>\frac {C_{48}^4 C_4^1 + C_{48}^3 C_4^2 + C_{48}^2 C_4^3 + C_{48}^1 C_4^4} {C_{52}^5}</math> | ||
| + | |||
| + | <latex>\[\sum\limits_{\ell = 0}^{n-1}\frac{C_{n}^{k}C_{\ell - 1}^{n - 1}}{2^{2\ell - 1}}\]</latex> | ||
Версия 20:41, 30 июня 2013
Похоже, в задаче полагается, что есть человек-бросатель, который бросает, т.к., судя по условию задачи, в раунде побеждает один человек.
В таком случае нам просто нужно найти вероятность того, что у игрока после n + k ходов будет k побед, причем k-й раунд для него был проигрышным (т.к. это был последний раунд и в нем узналось, что он проиграл).
Итак, у нас есть цепь из n + k чисел, 0 - если игрок в этом раунде проиграл, 1 - если выиграл. Нужно найти вероятность того, что после игры в такой цепи (длиной n + k) для игрока будет k единиц, n нулей и последний элемент - нуль.
Посчитаем общее число цепей. Понятно, что в цепи должно быть n нулей, т.к. игрок проигравший. Последняя цифра - нуль. Всего игрок мог выиграть s раундов, где s = 0, 1, ... , n - 1. В каждой такой ситуации в игре будет n + s шагов. Значит для каждого s всего возможных цепей - число разбиений n + s - 1 по s - 1 (т.е. мы выбираем, куда поставить s - 1 нулей в цепи без последнего члена, который заведомо нуль, всего в такой цепи как раз s нулей и ее длина n + s). А все возможные варианты - это сумма таких разбиений при s = 0, 1, ... , n - 1.
Теперь посчитаем успешные исходы. Это все цепи длины n + k с k нулями и последним нулем. Их число - число сочетаний из n + k - 1 по k - 1, аналогично предыдущим рассуждениям.
Итак, мы получаем ответ: