Вероятность/Задачи/coin-ten-times — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
−
Бросаем честную монетку 10 раз.
+
Маркеева Лариса 973б<br />
−
Найдите вероятность следующих событий:
+
−
* Одинаковое число «орлов» и «решек».
+
−
* Больше «орлов», чем «решек».
+
−
* Для <tt>0<i<6</tt>, <tt>i</tt>-й и <tt>11-i</tt>-й броски будут одинаковы.
+
−
* Будет выброшено подряд четыре «орла».
+
  
−
[[Category:Нерешенные задачи]]
+
a) По схеме Бернулли <math>C_{10}^5\left(\dfrac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{63}{256}</math><br />
 +
b) Нас устраивают события, когда выпадет 4, 3, 2, 1 "решка", обращаясь к формуле Бернулли:<br />
 +
<math>P = C_{10}^6\left\dfrac{1}{2}\right)^6\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^4+C_{10}^7\left(\dfrac{1}{2}\right)^7\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+C_{10}^8\left(\dfrac{1}{2}\right)^8\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+C_{10}^9\left(\dfrac{1}{2}\right)^9\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^1+C_{10}^0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 =\dfrac{193}{512}</math><br />
 +
c) Вероятность совпадения 1-го и 10-го элемента:<br />
 +
** <math>P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}</math> - если выпала "решка"
 +
** <math>P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}</math> - если выпала "орел"
 +
** Итого: <math>\dfrac{1}{2}</math>
 +
**Очевидно, что аналогичные рассуждения можно провести для всех 0<i<6 и мы всегда будем получать вероятность <math>\dfrac{1}{2}</math>
 +
**Таким образом, вероятность того Для 0<i<6, i-й и 11-i-й броски будут одинаковы  равна <math>(\dfrac{1}{2})^5=\dfrac{1}{32}</math>
 +
d)
 +
:*Рассмотрим случай, когда у нас ровно 4 единицы подряд:
 +
:**#<math>11110..... - 2^5 раз</math>
 +
:**#<math>011110.... - 2^4 раз</math>
 +
:**#<math>.011110... - 2^4 раз</math>
 +
:**#<math>..011110.. - 2^4 раз</math>
 +
:**#<math>...011110. - 2^4 раз</math>
 +
:**#<math>....011110 - 2^4 раз</math>
 +
:**#<math>.....01111 - 2^5 раз</math>
 +
:**** <math>S = 2\cdot2^5+5\cdot 2^4</math>
 +
:****Рассмотрим строку 111101111x, где x или 0 или 1. Если это 0 - то мы рассмотрели этот случай в паттерне 1, 6. А так же существует строка 1111011111, оно подходит под первый паттерн, но мы рассматриваем ТОЛЬКО ровно с 4 единицами. Вычитаем паттерн 6 и 1111011111 из <math>S = 2\cdot2^5+5\cdot 2^4-2</math>
 +
:****Рассмотрим строку 1111001111 - эта строка подходит под 1 и 6. Вычитаем 6-ой паттерн <math>S = 2\cdot2^5+5\cdot 2^4-3</math>
 +
:****Рассмотрим строку 0111101111 - паттерн 2 и 6. Вычитаем 6-ой паттерн <math>S = 2\cdot2^5+5\cdot 2^4-4</math>
 +
:****Рассмотрим строку 1111101111 - подходит под 7, но не удовлетворяет условию. <math>S = 2\cdot2^5+5\cdot 2^4-5 = 139</math>
 +
 
 +
:**Рассмотрим случай, когда у нас ровно 5 единицы подряд:
 +
:**#<math>1111110.... - 2^4 раз</math> 
 +
:**#<math>01111110... - 2^3 раз</math> 
 +
:**#<math>.01111110.. - 2^3 раз</math> 
 +
:**#<math>..01111110. - 2^3 раз</math> 
 +
:**#<math>...0111110 - 2^3 раз</math> 
 +
:**#<math>....0111111 - 2^4 раз</math> 
 +
:****Каждая строка с 5-ю подряд(ни больше, ни меньше) 1-ми подпадает только под 1 паттерн единовременно <math>S = S + 2\cdot 2^4+ 4\cdot 2^3 = 203</math>
 +
 
 +
:**Рассмотрим случай, когда у нас ровно n>5 единицы подряд:
 +
:**#1...10xxx - n единиц подряд и 10-1-n любых символов. У нас две такие последовательности, когда n единиц подряд справа и слева
 +
:**#01...10xx - n единиц подряд и 10-2-n любых символов. Таких последовательностей 9-n
 +
:*** Для <math>n=6:\ 2\cdot 2^3+3\cdot 2^2, n=7:\ 2\cdot 2^2+2\cdot 2^1, для n=8:\ 2\cdot 2^1+1\cdot 2^0, для n = 9:\ 2\cdot 2^9</math>.
 +
:*** Прибавляем эти значения к S и получаем <math>S = S + 2\cdot 2^3+3\cdot 2^2 + 2\cdot 2^2+2\cdot 2^1 + 2\cdot 2^1+1\cdot 2^0 + 2\cdot 2^0= 250</math>
 +
:*** Так же заметим, что ни под один из рассмотренных вариантов не подходят 10 единиц, добавим к нашей сумме <math>S=251</math>
 +
:**Итого искомая вероятность <math>P=\dfrac{S}{2^{10}}=\dfrac{251}{2^{10}}\approx 0.245</math>
 +
[[Категория:На проверку]]

Версия 19:12, 7 октября 2014

Маркеева Лариса 973б

a) По схеме Бернулли
b) Нас устраивают события, когда выпадет 4, 3, 2, 1 "решка", обращаясь к формуле Бернулли:

c) Вероятность совпадения 1-го и 10-го элемента:

    • - если выпала "решка"
    • - если выпала "орел"
    • Итого:
    • Очевидно, что аналогичные рассуждения можно провести для всех 0<i<6 и мы всегда будем получать вероятность
    • Таким образом, вероятность того Для 0<i<6, i-й и 11-i-й броски будут одинаковы равна

d)

  • Рассмотрим случай, когда у нас ровно 4 единицы подряд:
        • Рассмотрим строку 111101111x, где x или 0 или 1. Если это 0 - то мы рассмотрели этот случай в паттерне 1, 6. А так же существует строка 1111011111, оно подходит под первый паттерн, но мы рассматриваем ТОЛЬКО ровно с 4 единицами. Вычитаем паттерн 6 и 1111011111 из
        • Рассмотрим строку 1111001111 - эта строка подходит под 1 и 6. Вычитаем 6-ой паттерн
        • Рассмотрим строку 0111101111 - паттерн 2 и 6. Вычитаем 6-ой паттерн
        • Рассмотрим строку 1111101111 - подходит под 7, но не удовлетворяет условию.
    • Рассмотрим случай, когда у нас ровно 5 единицы подряд:
        • Каждая строка с 5-ю подряд(ни больше, ни меньше) 1-ми подпадает только под 1 паттерн единовременно
    • Рассмотрим случай, когда у нас ровно n>5 единицы подряд:
      1. 1...10xxx - n единиц подряд и 10-1-n любых символов. У нас две такие последовательности, когда n единиц подряд справа и слева
      2. 01...10xx - n единиц подряд и 10-2-n любых символов. Таких последовательностей 9-n
      • Для .
      • Прибавляем эти значения к S и получаем
      • Так же заметим, что ни под один из рассмотренных вариантов не подходят 10 единиц, добавим к нашей сумме
    • Итого искомая вероятность
Источник — «https://discopal.ispras.ru/index.php?title=Вероятность/Задачи/coin-ten-times&oldid=3132»