Вероятность/Задачи/eupce-2-4 — различия между версиями

Текущая версия на 09:01, 13 мая 2024

Докажите, что для любого целого .

Задача зарезервирована: Ermakov

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 Докажите, что  <m>E[X^k] ≥ E[X]^k</m> для любого целого <m>k ≥ 1</m>.
-Это справевливо только если <m>X \ge 0</m>.
-Пусть это так, тогда воспользуемся неравенством Йенсена, которое говорит о том, что
-<m>E[f(X)] \ge f(E[X])</m>, где f - выпуклая функция, и <m>f(x) = x^k</m> - выпуклая функция <m>\forall k \ge 1, \forall x \ge 0</m>, но это не так для <m>x \le 0</m>.
-Тогда скажем, что <m>f(x) = x^k</m> и отсюда следует <m>E[X^k] ≥ E[X]^k</m>
-{{checkme}}
 {{reserve-task|Ermakov}}
 [[Категория:Теоретические задачи]]