2001-gre-math.pdf/Q15 — различия между версиями

Версия 06:55, 9 января 2025

Вопрос: Q15-19def7

Целое число c является общим делителем двух целых чисел x и y тогда и только тогда, когда c является делителем x и c является делителем y. Какой из следующих наборов целых чисел может быть множеством всех общих делителей двух целых чисел?

Ответы

• {−6,−2,−1,1,2,6}
• {−6,−2,−1,0,1,2,6}
• Правильный ответ: {−6,−3,−2,−1,1,2,3,6}
• {−6,−3,−2,−1,0,1,2,3,6}
• {−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6}

Объяснение

Исходники — вопрос 15 на 19 странице книги «2001-gre-vs-practice.pdf»

Общий делитель двух чисел x и y — это число, которое делит оба числа без остатка. Это означает, что если c является общим делителем x и y, то c должен делить и x, и y.

Рассмотрим набор (C): {−6,−3,−2,−1,1,2,3,6}.

Почему 0 не может быть общим делителем:

0 является делителем любого числа, но не может быть общим делителем, так как общий делитель должен быть делителем обоих чисел, и 0 не является делителем никакого ненулевого числа. Почему 4 не может быть общим делителем:

Если бы 4 был общим делителем, то и 2 должен был бы быть общим делителем (так как 2 делит 4). Однако, если 2 является общим делителем, то и 1 должен быть общим делителем (так как 1 делит 2). Таким образом, наличие 4 в наборе общих делителей означает, что и 2, и 1 также должны быть в этом наборе.

Почему набор (C) правильный:

Набор {−6,−3,−2,−1,1,2,3,6} включает все возможные делители чисел, которые делят и x, и y, при условии, что x и y делятся на 1, 2, 3 и 6 (и их отрицательные аналоги). Этот набор не включает 0 и 4, что соответствует условиям задачи.

Таким образом, правильный вариант ответа — (C).