2001-gre-math.pdf/Q61 — различия между версиями
Материал из DISCOPAL
StasFomin (обсуждение | вклад) |
StasFomin (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Вопрос: Q61-19def7 == | == Вопрос: Q61-19def7 == | ||
| − | Какое натуральное число является наибольшим делителем числа <m>p^4 - 1</m> для любого простого числа <m>p</m>, большего 5? | + | Какое натуральное число является наибольшим делителем числа <m>p^4 - 1</m> для любого простого числа <m>p</m>, большего 5? |
=== Ответы === | === Ответы === | ||
| Строка 19: | Строка 19: | ||
<m>p^4 - 1 = (p^2 - 1)\cdot(p^2 + 1) = (p - 1)\cdot(p + 1)\cdot(p^2 + 1)</m> | <m>p^4 - 1 = (p^2 - 1)\cdot(p^2 + 1) = (p - 1)\cdot(p + 1)\cdot(p^2 + 1)</m> | ||
| − | * | + | * Так как <m>p</m> <m>-</m> простое число, большее 5, оно нечетно. |
| − | <m>p - 1</m> и <m>p + 1</m> <m>-</m> подряд идущие чётные числа, одно из них делится на 2, а другое на 4. | + | <m>p - 1</m> и <m>p + 1</m> <m>-</m> подряд идущие чётные числа, одно из них делится на 2, а другое на 4. |
<m>p^2 + 1</m> <m>-</m> также чётное число. | <m>p^2 + 1</m> <m>-</m> также чётное число. | ||
| Строка 47: | Строка 47: | ||
* Таким образом, <m>p^4 - 1</m> делится минимум на <m>2\cdot4\cdot2\cdot3\cdot5 = 240</m> | * Таким образом, <m>p^4 - 1</m> делится минимум на <m>2\cdot4\cdot2\cdot3\cdot5 = 240</m> | ||
| − | {{ | + | {{question-ok|[[Участник:StasFomin|StasFomin]] 11:19, 13 января 2025 (UTC)}} |
[[Категория:Математика]] | [[Категория:Математика]] | ||
Текущая версия на 11:19, 13 января 2025
Вопрос: Q61-19def7
Какое натуральное число является наибольшим делителем числа для любого простого числа , большего 5?
Ответы
- 12
- 30
- 42
- 120
- Правильный ответ: 240
Объяснение
Исходники — вопрос 61 на 50 странице книги «2001-gre-math.pdf»
Рассмотрим разложение числа :
- Так как простое число, большее 5, оно нечетно.
и подряд идущие чётные числа, одно из них делится на 2, а другое на 4.
также чётное число. Получается, исходное число делится как минимум на 16.
;
;
;
;
;
- Таким образом, делится минимум на