Open Exercises — различия между версиями
StasFomin (обсуждение | вклад) |
StasFomin (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
redirect=no | redirect=no | ||
category=Теоретические_задачи | category=Теоретические_задачи | ||
| − | notcategory=Solved | + | notcategory=Solved |
| + | notcategory=Решенные_задачи | ||
ignore=Permission denied | ignore=Permission denied | ||
ignore=A | ignore=A | ||
| − | ignore=Open_Exercises | + | ignore=Open_Exercises |
| + | ignore=Открытые_теоретические_задачи | ||
</templatedpagelist> | </templatedpagelist> | ||
Версия 09:45, 19 мая 2023
Всего страниц найдено: 63.
Задача «Задачи/eupce-6-2-a»©
Докажите, что для каждого целого числа n существует раскраска ребер полного графа
Задача «Задачи/NP-sums»©
Проверить принадлежность классу следующей задачи: по заданному конечному множеству натуральных чисел, представленных в своей бинарной записи, определить возможность разделения этого множества на два подмножества с одинаковыми суммами.
Задача «Задачи/eupce-2-4»©
Докажите, что для любого целого .
Задача зарезервирована: Ermakov
Задача «Задачи/eupce-1-13»©
Медицинская компания рекламирует свой новый тест на определенное заболевание.
Частота ошибок первого рода (false negative) мала: если у вас есть расстройство, вероятность того, что тест вернет положительный результат, составляет 0.999.
Частота ошибок второго рода (false positive) тоже невелика: если у вас нет расстройства, вероятность того, что тест вернет положительный результат, составляет всего 0.005.
Предположим, что эту болезнь имеет 2% населения.
Если мы проверяем человека, выбранного равномерно из популяции, и получается положительный результат, какова вероятность того, что эта болезнь у него действительно есть?
Задача зарезервирована: Ermakov
Задача «Задачи/eupce-1-15»©
Предположим, что бросают десять стандартных шестисторонних костей.
Какова вероятность того, что их сумма будет деленной на 6, предполагая, что броски независимы?
Задача зарезервирована: Ermakov
Задача «Задачи/MAX-CUT-NPC»©
Докажите, что задача MAX-CUT, в форме задачи разрешения («правда, ли, что для графа G есть разрез больше K?») NP-полна.
Задача зарезервирована: Ermakov
Задача «Задачи/eupce-2-9»©
Дважды бросают честный k-гранный кубик с числами от 1 от k до k на гранях кубика, получая значения X1 и X2.
- E[max(X1, X2)] = ?
- E[min(X1, X2)] = ?
Покажите, что E[max(X1 , X2)] + E[min(X1 , X2)] = E[X1] + E[X2].
Задача «Задачи/eupce-2-7-c»©
X и Y — независимые случайные величины с геометрическим распределением, с параметрами P и Q соответственно.
P(min(X, Y) = k) = ?
Задача «Задачи/eupce-6-20»©
Задача «Задачи/eupce-6-19»©
Задача «Задачи/eupce-6-17»©
Задача «Задачи/eupce-6-15»©
Задача «Задачи/eupce-6-14»©
Задача «Задачи/eupce-6-13»©
Задача «Задачи/eupce-6-11»©
Задача «Задачи/eupce-6-10»©
Задача «Задачи/eupce-6-9»©
Задача «Задачи/eupce-6-8»©
Задача «Задачи/eupce-6-7»©
Задача «Задачи/eupce-6-4»©
Задача «Задачи/eupce-6-3-b»©
- Дан n-вершинный неориентированный граф G=(V, E)
Рассмотрим следующий метод генерации независимого множества.
Для заданной перестановки вершин σ, определим подмножество S(σ) вершин следующим образом: для каждой вершины i, i ∈ S(σ) тогда и только тогда, когда никакой ни один сосед j вершины i не предшествует i в перестановке σ.
Предложите вероятностный алгоритм для поиска σ
для которого можно показать, что ожидаемый размер
где означает степень вершины i.
Докажите, что в G существует независимое множество размера как минимум
Задача «Задачи/eupce-6-3-a»©
- Дан n-вершинный неориентированный граф G=(V, E)
Рассмотрим следующий метод генерации независимого множества.
Для заданной перестановки вершин σ, определим подмножество S(σ) вершин следующим образом: для каждой вершины i, i ∈ S(σ) тогда и только тогда, когда никакой ни один сосед j вершины i не предшествует i в перестановке σ.
Покажите, что каждый S(σ) будет независимым множеством в G.
Задача «Задачи/eupce-6-1-b»©
Предложите алгоритм дерандомизации методом условных вероятностей для алгоритма из MAX-SAT: вероятностное округление/Задачи/eupce-6-1-a.
Задача «Задачи/eupce-6-1-a»©
Рассмотрим K-ESAT, SAT, когда в каждой скобке ровно k литералов.
Предложите Лас-Вегас алгоритм выполняющий минимум
скобок, и проанализируйте матожидание его времени выполнения.
Задача «Задачи/eupce-2-13-b»©
Решите обобщенную версию задачи [[../eupce-2-13]]:
- kn различных купонов, организованных в n непересекающихся наборов из k купонов.
- нужен один купон из каждого набора.
Задача «Задачи/eupce-2-13»©
- Каждая коробка хлопьев содержит один из 2n различных купонов (купон в каждой коробке выбирается независимо и равномерно случайным образом из 2n).
- Купоны организованы в n пар, так что купоны 1 и 2 составляют пару, купоны 3 и 4 составляют пару и так далее.
- Получив по одному купону из каждой пары, вы можете получить приз.
Какое ожидаемое количество коробок, надо для этого купить?
Задача «Задачи/eupce-2-8-a»©
Алиса и Боб решили заводить детей до тех пор, пока у них не родится девочка или пока у них не будет k ≥ 1 детей.
Предположим, что каждый ребенок будет мальчиком или девочкой независимо с вероятностью 1/2 и что многоплодных родов не бывает.
- Каково ожидаемое число детей женского пола?
- Каково ожидаемое число детей мужского пола?
Задача «Задачи/eupce-2-7-a»©
X и Y — независимые случайные величины с геометрическим распределением, с параметрами P и Q соответственно.
P(X = Y) = ?
Задача «Задачи/eupce-2-6-d»©
Предположим, что независимо бросают два стандартных шестисторонних кости, X1 — то, что выпадает на первой, X2 — на второй, а X — сумма обоих значений.
- 2 ≤ k ≤ 12
- E[X1 - X2 | X = k] = ?
Задача «Задачи/eupce-2-6-c»©
Предположим, что независимо бросают два стандартных шестисторонних кости, X1 — то, что выпадает на первой, X2 — на второй, а X — сумма обоих значений.
E[X1 | X = 9] = ?
Задача «Задачи/eupce-2-6-b»©
Предположим, что независимо бросают два стандартных шестисторонних кости, X1 — то, что выпадает на первой, X2 — на второй, а X — сумма обоих значений.
E[X | X1 = X2] = ?
Задача «Задачи/eupce-2-6-a»©
Предположим, что независимо бросают два стандартных шестисторонних кости, X1 — то, что выпадает на первой, X2 — на второй, а X — сумма обоих значений.
E[X | X1 — четное] = ?
Задача «Задачи/eupce-2-5»©
Если X — случайная величина с биномиальным распределением B(n, 1/2) для n ≥ 1, покажите, что вероятность того,
что X — четное будет 1/2.
Задача «Задачи/eupce-1-26-b»©
Обычные крестики-нолики скучные, при оптимальной стратегии в них выигрывают крестики.
Рассмотрим вероятную модификацию этой игры.
- Как обычно, крестики и нолики ходят по очереди и нолик идет первым. Как обычно, выигрывает тот, кто первый добъется «три в ряд», или ничья, если никто.
- Но на каждом ходе позиция и у крестиков и у ноликов выбирается независимо и равномерно среди свободных квадратов.
Найдите вероятность, выигрыша для «крестиков» и для «ноликов».
Задача «Задачи/eupce-1-26-a»©
Обычные крестики-нолики скучные, при оптимальной стратегии в них выигрывают крестики.
Рассмотрим вероятную модификацию этой игры.
- Изначально, бросая честную монетку, разметим каждый из девяти квадратов либо X, либо O.
- Если только один из игроков имеет «три в ряд» → он победил.
- Если оба или никто → ничья.
Определите вероятность, что «X» выиграет.
Задача «Задачи/eupce-1-18»©
- Есть функция
- и известно что .
Единственный способ вычисления F — использовать таблицу поиска, в которой хранится значения F. К сожалению, злой противник изменил значение 1/5 записей в этой таблице.
Опишите простой рандомизированный алгоритм, который, учитывая входной Z, выводит значение, которое равняется f(z) с вероятностью не менее 1/2.
Ваш алгоритм должен работать для каждого значения Z, независимо от того, какие записи изменил противник.
Дополнительно, предположим, вам разрешено повторить этот ваш начальный алгоритм три раза.
Как этим воспрользоваться, чтобы максимально увеличить вероятность правильного ответа, и какова эта вероятность?
Задача «Задачи/eupce-1-16-d»©
Рассмотрим игру, основанную на бросках трех стандартных шестисторонних костей.
Цель → получить одинаковое число на всех трех костях, кто первый этого добьется, тот выиграл.
- Игрок начинает с броска всех трех кубиков.
- После первого броска игрок может выбрать одну, две или три кости и бросить их снова.
- После второго броска игрок один из трех кубиков и перебросить его.
Предположим, что игрок использует следующую оптимальную стратегию:
- если все три кости одинаковые → останавливаемся и выигрываем;
- если два кубика совпадают, игрок перебрасывает тот, который «выбивается из коллектива».
- если все не совпадают — перебрасываем их всех.
Рассматривая все возможные возможные выпадения костей, найдите вероятность того, что игрок выиграет.
Задача «Задачи/eupce-1-16-c»©
Рассмотрим игру, основанную на бросках трех стандартных шестисторонних костей.
Цель → получить одинаковое число на всех трех костях, кто первый этого добьется, тот выиграл.
- Игрок начинает с броска всех трех кубиков.
- После первого броска игрок может выбрать одну, две или три кости и бросить их снова.
- После второго броска игрок один из трех кубиков и перебросить его.
Предположим, что игрок использует следующую оптимальную стратегию:
- если все три кости одинаковые → останавливаемся и выигрываем;
- если два кубика совпадают, игрок перебрасывает тот, который «выбивается из коллектива».
- если все не совпадают — перебрасываем их всех.
Найдите вероятность того, что игрок выиграет, если на первом шаге он уже выбросил две одинаковые кости.
Задача «Задачи/eupce-1-16-b»©
Рассмотрим игру, основанную на бросках трех стандартных шестисторонних костей.
Цель → получить одинаковое число на всех трех костях, кто первый этого добьется, тот выиграл.
- Игрок начинает с броска всех трех кубиков.
- После первого броска игрок может выбрать одну, две или три кости и бросить их снова.
- После второго броска игрок один из трех кубиков и перебросить его.
Предположим, что игрок использует следующую оптимальную стратегию:
- если все три кости одинаковые → останавливаемся и выигрываем;
- если два кубика совпадают, игрок перебрасывает тот, который «выбивается из коллектива».
- если все не совпадают — перебрасываем их всех.
Найдите вероятность того, что ровно два из трех кубиков показывают одинаковое число в первом броске.
Задача «Задачи/eupce-1-16-a»©
Рассмотрим игру, основанную на бросках трех стандартных шестисторонних костей.
Цель → получить одинаковое число на всех трех костях, кто первый этого добьется, тот выиграл.
- Игрок начинает с броска всех трех кубиков.
- После первого броска игрок может выбрать одну, две или три кости и бросить их снова.
- После второго броска игрок один из трех кубиков и перебросить его.
Предположим, что игрок использует следующую оптимальную стратегию:
- если все три кости одинаковые → останавливаемся и выигрываем;
- если два кубика совпадают, игрок перебрасывает тот, который «выбивается из коллектива».
- если все не совпадают — перебрасываем их всех.
Найдите вероятность того, что все три кубика показывают одинаковое число в первом броске.
Задача «Задачи/eupce-1-14»©
Я играю в турнире ракетбола против игрока, против которого раньше не играл, но видел его в игре.
Априори рассматриваю три равновероятные возможности:
- мы одинаково талантливы, каждый из нас в равной степени может выиграть каждую игру;
- Я немного лучше, и поэтому я выигрываю каждую игру независимо с вероятностью 0.6;
- Он немного лучше, и поэтому он выигрывает каждую игру независимо с вероятностью 0.6.
В рокетбол играют, пока один игрок не выиграет три сета. В нашей игре, я выиграл только второй сет, а противник выиграл первый, третий и четвертый.
В апостеорной модели, с какой вероятностью я должен верить, что мой оппонент немного лучше, чем я?
Задача «Задачи/eupce-1-11-b»©
- Пытаемся передать один бит (0 или 1) через промежуточные узлы, каждый из которых независимо может инвертировать бит с вероятностью «p».
- Скажем, узел имеет смещение «q», если это , «смещение» будет вещественным числом на отрезке [−1, 1].
Докажите, что прохождение бита через узлы со смещениями «q1» и «q2» эквивалентно прохождению бита через один узел со смещением «q1×q2».
Задача «Задачи/eupce-1-11-c»©
Пытаемся передать один бит (0 или 1) через «n» промежуточных узлов, каждый из которых независимо
может инвертировать бит с вероятностью «p».
Докажите, что вероятность получения корректного бита:
Задача «Задачи/eupce-1-9»©
- Честную монету бросили «n» раз.
- Для k>0, найдите верхнюю границу вероятности, что будет последовательность из последовательных орлов.
Задача «Задачи/P^BPP»©
Какой класс будет
Задача «Задачи/\Sigma^p k=NP^(\Sigma^p (k-1))»©
Докажите
Задача «Задачи/Свойство Sigma i=PH»©
.
Задача «Задачи/DHAM3»©
Пусть
- — задача поиска гамильтонового цикла в графе , где V — делиться на 3.
- — задача подтверждения наличия гамильтонового цикла в таком графе.
Докажите, что и — NP-трудны.
Задача «Задачи/NTIME-NlogN-reduction-3SAT»©
Покажите, что для любого языка , можно построить полиномиальную Карп-сводимость, от слов длины n, к 3SAT-формулам длины .
Задача «Задачи/QBEQ-NPC-NPC»©
Покажите NP-полноту языка совместимых систем квадратичных уравнений в булевых переменных. Т.е. разрешимых систем вида
и где сложение по модулю 2.
Задача «Задачи/USUBSETSUM-IN-P»©
Вспомним задачу булев-рюкзак выполнимость, и потребуем, чтобы все веса и размер рюкзака задавались в унарной системе ().
Покажите, что тогда язык таких выполнимых рюкзаков, лежит в классе P.
Задача «Задачи/accept-after-t-steps-in-npc»©
Язык L состоит из пар (M, t), где
- M
- одноленточная машина Тьюринга над бинарным алфавитом.
- t
- число t единичной системе (t единиц).
- Существует вход x, M(x) останавливается и возвращает 1, после t шагов.
Покажите, что это NP-полная задача.
Задача «Задачи/conp-as-yes»©
Покажите, что язык L лежит в co-NP тогда и только тогда, если существует недетерминированная машина M, и полином p, такой, что M останавливается за время p(n) для всех входов x длины n, и L состоит точно только из таких строк x, у которых все пути вычисления M(x) приводят к ответу «1».
Задача «Задачи/scheduling-ident-machines-in-npc»©
Рассмотрим задачу разрешения для оптимизационной задачи Планирование Задач на Одинаковых Машинах («если ли планировка с максимальным временем меньше k»).
Покажите, что эта задача, даже в случае p=2, NP-полна.
Задача «Задачи/unary-in-p-then-time2kn-in-time2cn»©
Докажите, что если каждый унарный язык из NP также лежит в P, то то для любого языка из для какого-либо k, он тажке лежит в для любого c.
Задача «Задачи/Квадрат букв»©
Задача «Задачи/Порядок закачек — NPC»©
Представим распределенный сервис стриминга видеофильмов. Центральный сервер с полной БД фильмов получает от периферийных кеширующих узлов запросы на требуемые фильмы и ориентировочные сроки, когда люди собираются их посмотреть.
Однако пропускная способность от сервера с дисками к внешнему миру ограничена, и требуется составить работающее расписание отгрузки фильмов.
Конкретно, узел контроля планирования получает n-заданий вида:
- «начать_не_раньше, закончить_не_позже, размер_фильма»i, 1<=i<=n
- максимальная пропускная способность не больше МаксКанал
И говорит «OK» (или «Паника-Паника!» в противном случае), если существует такое расписание из n команд отгрузки, соответствующих заданию (1<=i<=n ):
- «время_начала, время_окончания, ширина_канала»i,
- время_началаi >= начать_не_раньшеi
- время окончанияi <= закончить_не_позжеi
- ширина_каналаi <= МаксКанал
- ширина_канала*(время_окончания — время_начала)i >= размер_фильмаi
Докажите NP-полноту задачи.
Hint: Можно через «Рюкзак-выполнимость» или «SUBSET-SUM»
Задача «Задачи/ptas-for-minimal-scheduling»©
Разработайте PTAS-алгоритм для Планирование Задач на Одинаковых Машинах используя этот подход.
Задача «Задачи/dtime-n2-is-closed-carp-reduction»©
- Класс сложности С замкнут относительно какой-то сводимости, если L→L' и , то .
Рассмотрим класс .
Замкнут ли он относительно полиномиальной сводимости по Карпу?
Задача «Задачи/maximum-k-choice-knapsack-dynamic-programming»©
Придумайте алгоритм динамического программирования, находящий оптимальное решение задачи Maximum Integer k-choice Knapsack.
Задача «Задачи/Жадное вершинное покрытие для почти всех исходных данных»©
Рассмотрим жадный алгоритм для вершинного покрытия («брать вершину максимальной степени, ребра удалять»), на случайных графах, у которых
- n-вершин
- ребра между любой парой вершин возникают с вероятностью p.
Какова точность алгоритма для почти всех исходных данных?
(упрощенный вариант — для фиксированного p=½).
Задача «Задачи/P^(\Sigma^p k)=P^(\Pi^p k)»©
Докажите
Задача «[[Зарезервированные практические задачи|]]»©
Всего страниц найдено: 7.
----
Задача «Optprob/Транспортировка нефти»
У государственной нефтяной компании есть сеть трубопроводов, по которым она транспортирует нефть с нефтеперерабатывающего завода R в хранилище A, как показано на графе ниже.
Каждая дуга оценивается по максимальному дневному объему, который может быть доставлен, в тысячах литров.
Определите время, необходимое для транспортировки 60000 литров с нефтеперерабатывающего завода в центр хранения, если каждый
день отгружается максимально возможное количество.
Если мощность дуги (2,5) увеличить с 1 до 4, на сколько сократится полученное время?
Задача зарезервирована: ADanilenko 14:10, 31 октября 2024 (UTC)
Задача «Вероятность/Задачи/eupce-2-4»
Докажите, что
Задача зарезервирована: Ermakov
Задача «Вероятность/Задачи/eupce-1-15»
Предположим, что бросают десять стандартных шестисторонних костей.
Какова вероятность того, что их сумма будет деленной на 6, предполагая, что броски независимы?
Задача зарезервирована: Ermakov
Задача «Вероятность/Задачи/eupce-1-13»
Медицинская компания рекламирует свой новый тест на определенное заболевание.
Частота ошибок первого рода (false negative) мала: если у вас есть расстройство, вероятность того, что тест вернет положительный результат, составляет 0.999.
Частота ошибок второго рода (false positive) тоже невелика: если у вас нет расстройства, вероятность того, что тест вернет положительный результат, составляет всего 0.005.
Предположим, что эту болезнь имеет 2% населения.
Если мы проверяем человека, выбранного равномерно из популяции, и получается положительный результат, какова вероятность того, что эта болезнь у него действительно есть?
Задача зарезервирована: Ermakov
Задача «Open Exercises»
Задача «Optprob/Планируем генерацию электричества»
Долгосрочный план выработки электроэнергии учитывает график работы существующих энергоблоков и график установки новых электростанций для удовлетворения спроса на электроэнергию в течение ряда будущих (5) лет при минимально возможных затратах.
- Период планирования; 5 лет
Потребность в электроэнергии описывается кривой продолжительности нагрузки (LDC), как показано на рис (цифры на картинке приблизительны, точные будут дальше текстом), по оси ординат — мегаватты, по оси абсцисс — часы.
Площадь под графиком соответствует потребностям производства электроэнергии в мегаватт-часах.
Чтобы модель была простой, например линейной, график аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, показанной в виде гистограммы (ступенчатой функции), с
- «Bars=4».
- TD — отсечки по горизонтали
2920 3650 1280 910
Первый столбец обозначает минимальную нагрузку, столбец «4» — пиковую нагрузку, а два промежуточных — представляют потребность в средней нагрузке.
В любой компании или стране для производства электроэнергии используется несколько различных типов (n=5) технологий, таких как
- паровые турбины
- газовые турбины
- гидроэлектростанции
- дизель-генераторы
- комбинированные генераторы
Эти энергоблоки требуют различных затрат, затрат на установку и переменных затрат, и переменная по времени генерации (что-то ломается, что-то амортизируется, что-то улучшается).
- ; — планируемые мощности существующих генерирующих типов по времени.
15000 18000 20000 21000 21000
40000 350000 300000 280000 280000
50000 400000 400000 400000 300000
10000 100000 120000 130000 150000
1000 11000 12000 14000 16000
- ; Переменная (на мегаватт) годовая стоимость старой установки типа «i»
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 1 1 1
Кроме того, в будущем могут быть добавлены дополнительные мощности.
Например, предположим, что модель решила установить новую установку типа «j=1» мощностью 50 МВт в период «1», она будет существовать в системе до истечения технического срока службы этой установки (Это потому, что продолжительность горизонта планирования, рассматриваемого в этой задаче, короче, чем технический срок службы любого нового энергоблока, доступного на рынке).
- ; Фиксированная годовая стоимость новой установки типа «j»
100 110 110 120 120
200 200 200 200 200
300 290 290 285 285
200 190 190 180 180
50 50 50 50 50 ~
- ; Фиксированная годовая стоимость новой установки типа «j»
!AF; 80 80 85 85 85
85 85 85 85 85
90 90 90 90 90
90 90 95 95 95
85 85 90 90 90~
!PD; 6000 6000 6000 6000 6000
9000 10000 110000 12000 13000
25000 27000 27000 27000 27000
50000 58000 58000 58000 57000~
!W; 20 50 10 10 10~
Кроме того, они имеют разный технический срок службы и придерживаются разных правил технического обслуживания.
Задача планирования состоит в том, чтобы определить
- график работы существующих установок,
- установок нового поколения, которые будут запущены в будущем,
- и график введения новых установок путем минимизации суммы затрат на установку и эксплуатацию за заданное количество
лет, соблюдая при этом технические и финансовые ограничения.
Как только будет добавлен новый энергоблок с заданной мощностью, этот энергоблок будет эксплуатироваться на протяжении всего горизонта планирования.
С другой стороны, администрация имеет предпочтение между различными типами технологий, то есть между различными генерирующими установками в случае новых установок.
Это предпочтение описывается процентным коэффициентом от минимума, который должен иметь каждый новый блок, по сравнению с общей энергией, установленной в новых блоках.
Пока не додумано, надо доработать
Задача зарезервирована: StasFomin 16:33, 27 ноября 2022 (UTC)
Задача «Полиномиальные сводимости и NP-полные задачи. Классы NP, coNP, NPC/Задачи/MAX-CUT-NPC»
Докажите, что задача MAX-CUT, в форме задачи разрешения («правда, ли, что для графа G есть разрез больше K?») NP-полна.
Задача зарезервирована: Ermakov