Вероятность/Задачи/alice-bob-three-strange-dice — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
−
После обеда, Алиса и Боб решают, кому платить.
+
Маркеева Лариса 973б
  
−
Алиса достала из кармана три честные (все грани выпадают равновероятно), но нестандартные кости с следующими цифрами на гранях:
+
Рассмотрим все возможные варианты: <br />
−
 
+
Пусть Боб выбрал кубик A(1, 1, 6, 6, 8, 8):
−
;A: 1, 1, 6, 6, 8, 8
+
* Алиса выбирает B(2, 2, 4, 4, 9, 9). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
−
;B: 2, 2, 4, 4, 9, 9
+
<math>P_{win}=P(8)\cdot P(9) + P(6)\cdot P(9) + P(1)\cdot (P(2)+P(4)+P(9))=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3})=\dfrac{5}{9}</math><br />
−
;C: 3, 3, 5, 5, 7, 7
+
* Алиса выбирает C(3, 3, 5, 5, 7, 7). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
−
 
+
<math>P_{win}=P(6)\cdot P(7) + P(1)(P(3)+P(5)+P(7))=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}) = \dfrac{4}{9}</math><br />
−
Правила игры просты:
+
<br />
−
* Участники берут по одной кости.
+
Пусть Боб выбрал кубик B(2, 2, 4, 4, 9, 9):
−
* Выбранные кости бросаются
+
* Алиса выбирает A(1, 1, 6, 6, 8, 8). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
−
* Проигравший — у кого цифра меньше (одинаковых быть не может), он и платит за обед.
+
<math>P_{win}= P(2)\cdot(P(6)+P(8)) + P(4)\cdot(P(6)+P(8)) = \dfrac{4}{9}</math><br />
−
 
+
* Алиса выбирает C(3, 3, 5, 5, 7, 7). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
−
Алиса благородно представляет право выбора первой кости Бобу.
+
<math>P_{win} = P(2)\cdot(P(3)+P(5)+P(7)) + P(4)\cdot(P(5)+P(7))=\dfrac{5}{9}</math> <br />
−
 
+
<br />
−
Покажите, что несмотря на это «благородство», что вероятность выигрыша Алисы больше ½.
+
Пусть Боб выбрал кубик C(3, 3, 5, 5, 7, 7):
−
 
+
* Алиса выбирает A(1, 1, 6, 6, 8, 8). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
−
 
+
<math>P_{win}=P(3)\cdot(P(6)+P(8)) + P(5)\cdot(P(6)+P(8)) + P(7)\cdot P(8)=\dfrac{5}{9}</math><br />
−
[[Category:Нерешенные задачи]]
+
* Алиса выбирает B(2, 2, 4, 4, 9, 9). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
 +
<math>P_{win}=P(3)\cdot(P(4)+P(9)) + P(5)\cdot P(9) + P(7)\cdot P(9)=\dfrac{4}{9}</math><br />
 +
<br />
 +
Как мы видим, вне зависимости от того, какой кубик выберет Боб, Алиса всегда из двух оставшихся может выбрать такой кубик, что вероятность ее победы равна <math>\dfrac{5}{9} > \dfrac{1}{2}</math>.
 +
[[Категория:На проверку]]

Версия 14:27, 7 октября 2014

Маркеева Лариса 973б

Рассмотрим все возможные варианты:
Пусть Боб выбрал кубик A(1, 1, 6, 6, 8, 8):

  • Алиса выбирает B(2, 2, 4, 4, 9, 9). Тогда вероятность выигрыша Алисы:


  • Алиса выбирает C(3, 3, 5, 5, 7, 7). Тогда вероятность выигрыша Алисы:



Пусть Боб выбрал кубик B(2, 2, 4, 4, 9, 9):

  • Алиса выбирает A(1, 1, 6, 6, 8, 8). Тогда вероятность выигрыша Алисы:


  • Алиса выбирает C(3, 3, 5, 5, 7, 7). Тогда вероятность выигрыша Алисы:



Пусть Боб выбрал кубик C(3, 3, 5, 5, 7, 7):

  • Алиса выбирает A(1, 1, 6, 6, 8, 8). Тогда вероятность выигрыша Алисы:


  • Алиса выбирает B(2, 2, 4, 4, 9, 9). Тогда вероятность выигрыша Алисы:



Как мы видим, вне зависимости от того, какой кубик выберет Боб, Алиса всегда из двух оставшихся может выбрать такой кубик, что вероятность ее победы равна .

Источник — «https://discopal.ispras.ru/index.php?title=Вероятность/Задачи/alice-bob-three-strange-dice&oldid=3131»