2011-gre-cs-practice-book.pdf/Q43 — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
Строка 21: Строка 21:
  
 
Допустим, у нас уже есть MST. У графа по условию минимум 3 ребра, значит минимум 3 вершины.
 
Допустим, у нас уже есть MST. У графа по условию минимум 3 ребра, значит минимум 3 вершины.
#Рассмотрим случай с 3 вершинами:
+
1)Рассмотрим случай с 3 вершинами:
 
*Пусть это цикл-треугольник. Очевидно, что два минимальных по весу ребра создадут MST.  
 
*Пусть это цикл-треугольник. Очевидно, что два минимальных по весу ребра создадут MST.  
 
*Если же это граф-путь, то очевидно, что все рёбра, включая m1 и m2, войдут в MST.
 
*Если же это граф-путь, то очевидно, что все рёбра, включая m1 и m2, войдут в MST.
#Пусть у графа n>3 ребер, m>3 вершин. Пусть для него построили MST, в который не вошли m1 и m2. Тогда добавим в него m1, получим цикл. Из цикла можно убрать самое тяжёлое по весу ребро, так чтобы не потерять связности. Точно также можно проделать и с m2. Всё-таки для цикла нужно минимум три ребра, поэтому совсем необязательно в MST войдет третье по весу минимальное ребро. Приведём пример:
+
 
 +
2)Пусть у графа n>3 ребер, m>3 вершин. Пусть для него построили MST, в который не вошли m1 и m2. Тогда добавим в него m1, получим цикл. Из цикла можно убрать самое тяжёлое по весу ребро, так чтобы не потерять связности. Точно также можно проделать и с m2. Всё-таки для цикла нужно минимум три ребра, поэтому совсем необязательно в MST войдет третье по весу минимальное ребро. Приведём пример:
 
<graph>
 
<graph>
 
digraph G{
 
digraph G{

Версия 10:51, 20 декабря 2024

Задача зарезервирована: Urmat A 10:28, 20 декабря 2024 (UTC)

Вопрос: Q43-08c765

Какое из следующих свойств должно быть верным для минимального остовного дерева (MST) связного графа G с не менее чем 3 ребрами?

  • I. MST должно содержать самое минимальное ребро G.
  • II. MST должно содержать второе минимальное ребро G.
  • III. MST никогда не может содержать самое длинное ребро G

Ответы

  • Ни одно
  • Только I
  • Правильный ответ: Только I и II
  • Только I и III
  • I,II и III


Объяснение

Исходники — вопрос 43 на 36 странице книги «2011-gre-cs-practice-book.pdf»

  • Обозначим первое и второе минимальные по весу(не обязательно веса отличаются) ребра m1 и m2.

Допустим, у нас уже есть MST. У графа по условию минимум 3 ребра, значит минимум 3 вершины. 1)Рассмотрим случай с 3 вершинами:

  • Пусть это цикл-треугольник. Очевидно, что два минимальных по весу ребра создадут MST.
  • Если же это граф-путь, то очевидно, что все рёбра, включая m1 и m2, войдут в MST.

2)Пусть у графа n>3 ребер, m>3 вершин. Пусть для него построили MST, в который не вошли m1 и m2. Тогда добавим в него m1, получим цикл. Из цикла можно убрать самое тяжёлое по весу ребро, так чтобы не потерять связности. Точно также можно проделать и с m2. Всё-таки для цикла нужно минимум три ребра, поэтому совсем необязательно в MST войдет третье по весу минимальное ребро. Приведём пример: [svg]

В MST войдут рёбра с весами 1,2,4. Ребро с весом 3 не войдёт, хоть оно 3 минимальное по весу. Зато вошло самое тяжёлое/длинное ребро с весом 4, чтобы опровергает утверждение III.Check-me-animated.gif Решено: Urmat A 10:51, 20 декабря 2024 (UTC)