2001-gre-vs-practice.pdf/Q41 — различия между версиями
Илья52 (обсуждение | вклад) |
Илья52 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 24: | Строка 24: | ||
Построим разбиение для <m>A</m>. | Построим разбиение для <m>A</m>. | ||
| − | Выберем произвольный элемент <m>x_0</m>. Тогда подмножеств содержащих <m>x_0</m> столько же сколько и не содержащих: <m>2^{n-1}</m> (вспоминаем битовую последовательность описанную выше). Тогда можно по тому же правилу как и с четным <m>n</m> | + | Выберем произвольный элемент <m>x_0</m>. Тогда подмножеств содержащих <m>x_0</m> столько же сколько и не содержащих: <m>2^{n-1}</m> (вспоминаем битовую последовательность описанную выше). Тогда можно по тому же правилу как и с четным <m>n</m> описать биекцию между подмножествами, т.е. из содержащих <m>x_0</m> в несодержащие, и наоборот. Таким образом вне зависимости от четности <m>n</m> получаем ответ <m>2^{n-1}</m>. |
Правильный ответ: 3. | Правильный ответ: 3. | ||
Текущая версия на 11:41, 22 декабря 2024
Решено: илья52 19:23, 21 декабря 2024 (UTC)== Вопрос: Q41-e5724f ==
Задача зарезервирована: илья52 11:05, 21 декабря 2024 (UTC)
Пусть - конечное множество мощности . Чему равно количество подмножеств нечетной мощности (число количества элементов множества нечетное)?
Ответы
- определенной формулы нет
Объяснение
Исходники — вопрос 41 на 34 странице книги «2001-gre-vs-practice.pdf»
Количество подмножеств, какого - либо конечного множества равно , где мощность множества. Докажем данную формулу. Упорядочим каким - либо образом все элементы множества . Сопоставим последовательность нулей и единиц каждому подмножеству следующим образом: если j-ый элемент множества содержится в подмножестве , то в последовательности из нулей и единиц будет стоять 1, в противном случае 0. Таким образом, получено взаимно однозначное соответствие между битовыми последовательностями и подмножествами. Битовых последовательностей .
Докажем, что четных и нечетных множеств одинаковое количество.
Пусть четное. Установим биекцию между четными и нечетными подмножествами. . Таким образом получаем, что количество четных и нечетных подмножеств одинаковое количество.
Пусть нечетное. Построим разбиение для .
Выберем произвольный элемент . Тогда подмножеств содержащих столько же сколько и не содержащих: (вспоминаем битовую последовательность описанную выше). Тогда можно по тому же правилу как и с четным описать биекцию между подмножествами, т.е. из содержащих в несодержащие, и наоборот. Таким образом вне зависимости от четности получаем ответ .
Правильный ответ: 3.