Курс лекций «Решетки, алгоритмы и современная криптография»

Короткая ссылка: Lattices-and-cryptography

лекторы: к. ф.-м. н. А. В. Шокуров, д. ф.-м. н. Н. Н. Кузюрин

Семестровый спецкурс по выбору для студентов 4—6 курсов МФТИ.

Цель курса — показать как такое классическое понятие алгебры как решетка применяется в современной криптографии, определяя, по-существу, самое перспективное направление ее развития. В курсе

Кратко прослеживаются основные этапы развития криптографии как науки — от древних времен до современных криптосистем с секретным и открытым ключом.

Показана связь стойкости криптосистем с вычислительно трудными проблемами алгебры и теории чисел, в частности, проблемой вычисления дискретного логарифма и проблемой факторизации натуральных чисел. Обсуждается связь сложности в худшем случае и сложности в среднем, вводится основной примитив современной криптографии — понятие односторонней функции.

Обсуждаются слабости и недостатки в обосновании стойкости современных криптосистем, в частности, в свете результатов П. Шора о полиномиальных квантовых алгоритмах вычисления дискретного логарифма и факторизации чисел.

Основная часть курса посвящена изложению идей современного направления, зародившегося в конце 20-го века, и базирующегося на фундаментальных результатах венгерского математика Айтаи, которое на Западе получило название «Lattice based cryptography».

Излагаются сведения из теории колец, полей и решеток, необходимые для описания основных результатов и связанные, в частности,с понятием кольца, конечного поля и расширения полей, приведенного базиса решетки, критерием полноты решетки и леммой Минковского.
Излагаются алгоритмические аспекты теории решеток и их применение в криптографии, в частности, сложность решения систем линейных диофантовых уравнений, сложность нахождения кратчайшего ненулевого вектора решетки и вектора решетки, ближайшего к заданному вектору, известные приближенные алгоритмы для этих задач.
Формулируются результаты Айтаи (Miklós Ajtai ) о сложности поиска короткого вектора в случайной решетке.

Описаны некоторые современные криптосистемы на решетках: NTRU и другие.

Показана роль алгебраических методов в доказательстве полиномиальной разрешимости проверки простоты чисел.

Организационные вопросы

Место чтения курса - ИСП РАН (Москва, м. Таганская, Большая Коммунистическая, д. 25).

Комната 110 или 301.

Время — по понедельникам, в 14:00.

Материалы

Видео

Записанное видео лекций Александра Владимировича Шокурова, за весенний семестр 2013 года.

Как смотреть многопоточное MKV-видео

http://video-sky.0x1.tv/channels/ispras.ru/lectures/2013/2013-02-20-lectures.uncut.mkv^01:44:02
http://video-sky.0x1.tv/channels/ispras.ru/lectures/2013/2013-02-27-lectures.uncut.mkv^01:44:02
http://video-sky.0x1.tv/channels/ispras.ru/lectures/2013/2013-03-06-lectures.uncut.mkv^00:02:16
http://video-sky.0x1.tv/channels/ispras.ru/lectures/2013/2013-03-13-lectures.uncut.mkv^00:02:14
http://video-sky.0x1.tv/channels/ispras.ru/lectures/2013/2013-03-20-lectures.uncut.mkv^01:37:31
http://video-sky.0x1.tv/channels/ispras.ru/lectures/2013/2013-03-27-lectures.uncut.mkv^VLC↑
http://video-sky.0x1.tv/channels/ispras.ru/lectures/2013/2013-04-03-lectures.uncut.mkv^01:45:09