Вероятность/Задачи/Curse-of-dimensionality — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Стенин Сергей группа 974)
Строка 1: Строка 1:
−
==Стенин Сергей группа 974==
 
−
 
 
<m>
 
<m>
−
 
 
Рассмотрим сферу единичного радиуса в пространстве размерности~$d$. Пусть в нее случайно с равномерной по сере плотностью бросают $N$~точек. Найти медиану расстояния от центра сферы до ближайшей точки.
 
Рассмотрим сферу единичного радиуса в пространстве размерности~$d$. Пусть в нее случайно с равномерной по сере плотностью бросают $N$~точек. Найти медиану расстояния от центра сферы до ближайшей точки.
−
 
 
</m>
 
</m>
  
−
==Решение==
+
[[Category:Решенные задачи]]
−
 
+
−
<m>
+
−
 
+
−
Найдем функцию распределения расстояния от центра сферы до случайно вброшенной в сферу точки.
+
−
 
+
−
$$P(\xi < x) = \frac{\text{V (сферы радиуса $x$ в $\mathbb{R}$)}}{\text{V (сферы радиуса $1$ в $\mathbb{R}^d$)}} = \frac{x^d}{1^d} = x^d$$
+
−
 
+
−
Теперь найдем функцию распределения расстояния до ближайшей из $N$ точек.
+
−
 
+
−
$$P(\min(\xi_1,\dots,\xi_N) < x) = 1 - P(\min(\xi_1,\dots,\xi_N) \geq x) = 1 - P(\xi \geq x)^N = 1 - (1 - P(\xi < x))^N = 1 - (1 - x^d)^N$$
+
−
 
+
−
Теперь найдем медиану. Медиана - это $0.5$-квантиль, то есть точка, в которой функция распределения равна $0.5$.
+
−
 
+
−
$$1 - (1 - x_{med}^d)^N = 0.5$$
+
−
 
+
−
$$x_{med}^d = 1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{N}}$$
+
−
 
+
−
$$x_{med} = (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{N}})^{\frac{1}{d}}$$
+
−
</m>
+
−
[[Категория:Предложенные студентами задачи]]
+

Версия 11:10, 20 мая 2015

Источник — «https://discopal.ispras.ru/index.php?title=Вероятность/Задачи/Curse-of-dimensionality&oldid=4027»