Вероятность/Задачи/eupce-2-4 — различия между версиями
Материал из DISCOPAL
StasFomin (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{проверено|}} <!-- Probability and Computing --> Докажите, что <m>E[X^k] ≥ E[X]^k</m> для любого целого <m>k ≥ 1</m>. […») |
Ermakov (обсуждение | вклад) |
||
| (не показана одна промежуточная версия этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
<!-- Probability and Computing --> | <!-- Probability and Computing --> | ||
Докажите, что <m>E[X^k] ≥ E[X]^k</m> для любого целого <m>k ≥ 1</m>. | Докажите, что <m>E[X^k] ≥ E[X]^k</m> для любого целого <m>k ≥ 1</m>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Это справевливо только если <m>X \ge 0</m>. | ||
| + | Пусть это так, тогда воспользуемся неравенством Йенсена, которое говорит о том, что | ||
| + | <m>E[f(X)] \ge f(E[X])</m>, где f - выпуклая функция, и <m>f(x) = x^k</m> - выпуклая функция <m>\forall k \ge 1, \forall x \ge 0</m>, но это не так для <m>x \le 0</m>. | ||
| + | |||
| + | Тогда скажем, что <m>f(x) = x^k</m> и отсюда следует <m>E[X^k] ≥ E[X]^k</m> | ||
| + | {{checkme}} | ||
| + | {{reserve-task|Ermakov}} | ||
[[Категория:Теоретические задачи]] | [[Категория:Теоретические задачи]] | ||
Версия 15:43, 8 мая 2024
Докажите, что для любого целого .
Это справевливо только если .
Пусть это так, тогда воспользуемся неравенством Йенсена, которое говорит о том, что
, где f - выпуклая функция, и - выпуклая функция , но это не так для .
Тогда скажем, что и отсюда следует
Решено: {{{1}}}
Задача зарезервирована: Ermakov