Жадный алгоритм в задачах о покрытии/Задачи/ex-min-maxmatching-1-2 — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
(Решение Тихомиров)
(Массовая правка: добавление Категория:Теоретические задачи)
 
(не показано 15 промежуточных версий 2 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
Найдите приближенный алгоритм с точностью~$\frac{1}{2}$ для нахождения максимального (по включению) паросочетания минимального объема.
 
Найдите приближенный алгоритм с точностью~$\frac{1}{2}$ для нахождения максимального (по включению) паросочетания минимального объема.
 
</latex>
 
</latex>
 +
 
<!--Вообще-то, решения уже есть-->
 
<!--Вообще-то, решения уже есть-->
  
<big>Алгоритм: возьмем граф G=(V,E); результирующее множество R — пустое.
+
[[Категория:Решенные задачи]]
 
+
[[Категория:Теоретические задачи]]
1) Выберем произвольное ребро (u, v) из E, <latex>u \in V, v \in V</latex>
+
 
+
2) Добавим это ребро в множество R
+
 
+
3) Удалим для u, v все инцидентные этим вершинам ребра из E.
+
 
+
повторяем 1-3 пока не останется ребер в E; получим R — искомое паросочетание.
+
 
+
Доказательство 1/2-точности данного приближенного алгоритма:
+
Для оптимального паросочетания R* любое ребро из исходного графа инцедентно ребрам из R*(или содержится в R*).
+
Пусть «нет» и существует ребро (u, v) не из R* и не инцедентное ребрам из R* — тогда это ребро можно добавить к R* тоесть R* не максимальное по включению(<latex>R* \subset (R^* \cup(u, v))</latex>).
+
Значит все ребра из R имеют общую вершину с ребрами из R*, так как количество вершин R* = 2|R*| и ребра из R содержат минимум по одной вершине, и в одной вершине может быть максимум одно ребро из R, то |R| < 2|R*| , чтд.
+
 
+
ps: Вообще, мне кажется, если следовать определению точно, то точность = 2 и точность 1/2 была бы если бы |R| < 1/2|R*|, но это не возможно так как R* - минимум.
+
</big>
+
[[Category:На проверку]]
+

Текущая версия на 06:50, 4 мая 2023