Зарезервированные практические задачи

Всего страниц найдено: 14.

----

Докажите, что для каждого целого числа n существует раскраска ребер полного графа K_n в два цвета, такое что полное число одноцветных подграфов K_4 будете не больше чем \binom{n}{4} 2^{-5}

Задача зарезервирована: StasFomin 11:32, 19 мая 2023 (UTC)

К задаче…

showtotal=yes namespace=Main limit=500 order=lastedit desc,pagename output=template template=IncludeCard2 redirect=no category=Теоретические_задачи notcategory=Solved notcategory=Решенные_задачи ignore=Permission denied ignore=A ignore=Open_Exercises ignore=Открытые_теоретические_задачи

К задаче…

Конечное множество U, для каждого u ∈ U задан
- вес-размер s(u)∈ Z^+
- ценность v(u)∈ Z^+
Положительное целое B∈ Z^+ — размер рюкзака.
Выбрать подмножество U' ⊆ U, не превышающее емкость рюкзака: \displaystyle\sum\limits_{u∈ U'} s(u)≤B
Максимизировать ценность выбранных элементов, \displaystyle\sum\limits_{u∈ U'} v(u) → \max.

Задача в лаб17 (рид-онли просмотр)

— есть тестовые данные и визуализация.
— есть Pyomo-формулировка для ЦЛП.

Задача в базе NP-полных задач Вигго Кана
Код задачи в книге «ГД» → «MP9»

Задача зарезервирована: Анна_Дмитриенко,_М05-204 14:19, 26 ноября 2023 (UTC)

К задаче…

Коллекция C подмножеств конечного множества S.
Найти подколлекцию C'⊆ C, такую, что для каждой пары различных элементов x_1,x_2∈ S, есть некоторое множество c∈ C', которое содержит точно один элемент из этой пары.
Минимизировать мощность этой подколлекции |C'|.

Задача в лаб17 (рид-онли просмотр)

Задача в базе NP-полных задач Вигго Кана
Код задачи в книге «ГД» → «SP6»

Задача зарезервирована: 3xMike 14:23, 26 ноября 2023 (UTC)

К задаче…

Набор C из m городов с заданными расстояниями между ними d(c_i,c_j)∈ N для каждой пары городов. Расстояния удовлетворяют неравенству треугольника!
Найти тур C, т.е. перестановка \pi: [1..m]→ [1..m].
Минимизировать длину этого тура

d\left(\{c_{\pi(m)},c_{\pi(1)}\}\right)+\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{m-1} d\left(\{c_{\pi(i)},c_{\pi(i+1)}\}\right)

Задача в лаб17 (рид-онли просмотр)

Задача в базе NP-полных задач Вигго Кана

Задача зарезервирована: annimo 12:54, 25 октября 2023 (UTC)

К задаче…

Граф G=(V,E).

Найти клику в G, т.е. подмножество вершин V'⊆V, такое что любая пара вершин в V' соединены ребром из E.

Максимизировать размер клики, т.е. |V'|.

Задача в лаб17 (рид-онли просмотр)

Задача в базе NP-полных задач Вигго Кана
Код задачи в книге «ГД» → «GT19»

Задача зарезервирована: Lachin Sergey 20:07, 4 декабря 2023 (UTC)

К задаче…

showtotal=yes namespace=Main limit=500 order=lastedit desc,pagename output=template template=IncludeCard2 redirect=no category=ClassicHardProblems notcategory=Solved notcategory=Теоретические_задачи ignore=Permission denied ignore=A ignore=Open Classic Hard Problems

К задаче…

Граф G=(V,E).

Найти раскраску G, т.е. разбиение V на непересекающиеся наборы

V₁, V₂, …, V_k, такие, что каждый V_i независимое множество в G.

Минимизировать размерность раскраски, т.е. число этих независимых наборов V_i.

Задача в лаб17 (рид-онли просмотр)

Задача в базе NP-полных задач Вигго Кана
Код задачи в книге «ГД» → «GT4»

Задача зарезервирована: Alekseevk1 08:41, 16 августа 2023 (UTC)

К задаче…

У нас есть группа из 60 экскурсантов, которые наняли услуги компании автобусных туров на следующие 3 дня.

Есть шесть различных экскурсий, которые могут быть проведены.
Каждый экскурсант выбрал максимум три экскурсии. Экскурсант может взять только одну экскурсию в день.

Вот, какие экскурсии выбрал каждый экскурсант:

122 строк отношения «Экскурсант хочет Экскурсию»

Экскурсант	Экскурсия
1	1
1	3
1	5
2	2
2	4
3	6
4	2
5	1
5	5
6	4
6	6
6	3
7	1
7	4
7	5
8	3
8	5
9	2
10	1
10	3
11	1
11	4
12	3
12	5
13	6
13	4
14	2
14	6
15	2
15	4
16	4
16	5
17	2
17	6
18	2
18	6
19	1
19	4
20	6
20	2
21	1
21	3
22	4
22	6
23	6
24	1
24	3
24	6
25	2
26	2
26	4
27	4
27	5
28	3
28	5
29	6
29	3
30	1
30	4
30	5
31	6
32	2
33	1
33	3
34	2
34	4
35	4
35	6
36	6
36	2
37	1
37	3
37	5
38	4
38	5
38	6
39	2
40	3
40	5
41	2
41	6
42	2
42	6
43	3
44	4
44	5
45	1
45	4
46	2
46	6
47	2
47	4
48	4
48	6
49	6
50	2
50	6
51	2
52	3
52	5
53	1
53	3
54	3
54	5
55	6
55	2
56	1
56	3
56	5
57	1
57	4
57	5
58	2
58	4
59	4
59	6
59	3
60	4
60	5
60	6

Автобусы компании имеют вместимость (количество мест). У компании 5 автобусов.

Buses	1	2	3	4	5
	60	50	60	60	40

Один автобус в день может совершить несколько экскурсий в зависимости от близости между ними.

Эта информация будет собрана в бинарном атрибуте между экскурсиями (1: они могут быть

выполняться одним и тем же автобусом, 0: нет).

Вблизи	1	2	3	4	5	6
1	0	1	0	0	0	1
2	0	0	0	1	1	0
3	0	0	0	0	1	0
4	0	0	0	0	1	0
5	0	0	0	0	0	0
6	0	0	0	0	0	0

Однако автобус не должен охватывать более двух экскурсий за один день.
Компания хочет спланировать экскурсии на 3 дня, чтобы использовать наименьшее количество автобусов

(минимизируем «автобусо-дни»).

- При этом нужно найти назначение экскурсий и экскурсантов на рейсы автобусов

Задача зарезервирована: Ivanstepanov 9:01, 21 ноября 2023 (UTC)

К задаче…

Задача зарезервирована: Gleb Berezin M05-203v 14:25, 5 декабря 2023 (UTC)

Мы планируем распределять инженеров по проектам компании.

В течение следующего года компания имеет возможность участвовать в десяти инженерных проектах.

Каждый проект требует персонала (для проекта j потребуется Aj инженеров любого типа), приносит доход (G_j) и имеет общие расходы (C_j).

Projects	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	3	3	3	2	2	2	4	4	4	5
C	10000	20000	25000	40000	10000	40000	20000	25000	10000	30000
G	55000	60000	60000	90000	30000	100000	65000	50000	50000	60000

Инженеры компании делятся на две категории:

S: Старший инженер (с опытом)
JJ: Младший инженер (без достаточного опыта)

Каждый инженер имеет годовую зарплату M.

В настоящее время компания располагает штатом, состоящим из семи старших инженеров и четырех младших инженеров.

Engineers	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
S	1	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0
JJ	0	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1
M	50000	45000	30000	35000	28000	58000	36000	55000	35000	50000	33000

Каждый инженер, будь то старший или младший, подходит для каждого из проектов, в зависимости от их подготовки. Эта пригодность измеряется в виде непрерывного индекса от 0 (нет) до 1 (оптимально).

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	1	0.5	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.8
2	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1	1	0	0
3	1	1	0	0	1	0	0.4	0.5	0.6	0.5
4	2	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	2	0.3	0.5
5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1	1	1	0.3	0
6	0.2	0.5	0.5	3	0	0	1	1	1	0.6
7	1	0.6	0.7	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.6
8	1	3	3	3	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1
9	0	1	1	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.1
10	0.5	1	0.3	0.2	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1
11	0.5	1	0.3	0.2	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1

Компания имеет возможность нанимать новых инженеров.

Затраты, которые компания оценивает для найма новых сотрудников, следующие

следующим образом:

Старший инженер: $50 000/год
Младшие инженеры: $35 000/год

Для новых инженеров компания присваивает пригодность 75% старшим инженерам и 50% младшим, так как персонал будет подбираться в соответствии к проектам.

Существует два типа назначений для инженеров:

частичная занятость
полный рабочий день

Компания позволяет назначить инженера на неполный или полный рабочий день на проекты. Если он работает полный рабочий день, он может быть занят только в одном проекте.

Если неполный рабочий день — может быть максимум в двух.

Новые инженеры могут быть назначены только эксклюзивно.

На проекте затраты на зарплату инженера, назначенного на неполный рабочий день, будут составлять половину ее оклада.

Количество инженеров, необходимых проекту, всегда является величиной, предполагающей исключительности.

Если инженеры назначены на неполный рабочий день, то два инженера на неполный рабочий день считаются как

один инженер.

Компания хочет, чтобы

в каждом проекте, в котором она участвует, был как минимум один старший инженер (новый или уже работающий) на полную ставку.
общая пригодность инженеров, назначенных на проект, была выше 50% — расчет общей пригодности производится как сумма пригодности инженеров, назначенных на проект, деленная на количество назначенных инженеров, независимо от того, работают ли они неполный или полный рабочий день.

Помимо всего этого, существуют и другие спецификации:

В проекте не должно быть более трех инженеров, работающих неполный рабочий день.
Проекты 5 и 6 не могут иметь ни одного общего инженера в этих двух проектах.
Участие в проекте 2 на неполный рабочий день требует участия в проекте 3.

Цель компании — максимизация прибыли: «Доход от проектов» - «Расходы» (расходы на заработную плату + общие расходы).

К задаче…

Пусть имеется группа из n=20 человек, с которыми мы собираемся создать m=5 рабочих групп. (эксперты-политики создающие новые законы, ученые, инженеры и т.п.).

У нас есть 10 дисциплин-предметов (научные дисциплины, технологии, законы, …), а насколько каждый человек хорош в каждой дисциплине, задается индексом компетентности ([0…1]),

и все это формирует матрицу

«матрицей компетентности»

1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.8 0.4 0.9 1 1 0 1 0 1 0 0 0.4 0.1 0.1 0.8 
0 0 1 0 1 0.6 0.4 1 0 0 1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.8 0.4 0.9 1 1 
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0.9 1 1 1  1 1 1 0 0 
0 0.7 1 0 0.7 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
0.7 0 1 0 1 0.3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 
0 0.7 0 0 1 0 1 0 0 0  0 0 0 0 0 1 0 1 0 1
 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6 0.6 1 0 0 1 0 1 0 0 
0 0 0 0.7 0 0 1 0 1 0  0 0 0.7 0 0 0 1 0 0 1

Каждая группа имеет ограничение на минимум и максимум людей

Группа     1  2  3  4  5
Минимум    2  2  5  3  5
Максимум   7  8  7  6  10

В каждой группе нужно работать над двумя предметами.
Каждый предмет, должен изучаться по крайней мере в одной группе
Если индекс компетентности кого-то в предмете меньше 0.5, он не может входить в рабочую группу, которая этим занимается.
Предметы, которые изучает группа, должны быть совместимы («нет конфликта интересов», «техника безопасности» … )

«матрицей совместимости дисциплин»

1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1 0 1 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 0 0 1 0 0 1

Цель формирования групп — максимизировать общую компетентность — сумма индивидуальных компетентностей тех, кто в группе, по дисциплинам, изучаемым в группе — и так по всем группам.

Задача зарезервирована: Sanya 17:03, 16 ноября 2023 (UTC)

К задаче…

Задача зарезервирована: Bagurgl 13:30, 7 ноября 2023 (UTC)

После получения оценок первой оценки ВУЗ рассматривает вопрос об улучшении успеваемости своих учеников по математике.

Оценка каждого ученика по этому предмету известна, от 0 до 10.
Закон о персданных конечно запрещает узнать (нам, оптимизаторам) у кого какая оценка, даже под «анонимным номером», но известно, что после разбития на категории, у нас такое грубое распределение студентов:
- v=1, «неудовлетворительно [0-5]» → 24
- v=2, «хорошо» [5,7], → 58
- v=3, «отлично» [7,9], → 11
- v=4, «блестяще» [9,10] → 7

ВУЗ решил создать учебные группы с целью, чтобы ученики с худшими оценками были связаны с учениками с лучшими оценками.

Для этого, создается 15 учебных групп.
В каждой группе может быть не более 10 учеников.
В каждой группе по возможности нужно поместить ученика с «блестящей» оценкой.
Если в группе нет «блестящих», в ней должно быть по крайней мере, не меньше отличников, чем и в любой группе с «блестящими».
У группы есть «уровень» $\forall j: y_j = \sum_{i=1}^{4} v_i x_{ij}$ , где x_{ij} — число студентов «уровня i» назначенных в группу «j» — мы, оптимизаторы, работаем только с «уровнями» и «группами», не с отдельными студентами.

Цель состоит в том, чтобы сбалансировать уровень оценок групп, чтобы разница минимального и максимального «уровня» у групп было минимальным.

К задаче…

Задача зарезервирована: Serj964 17:32, 29 ноября 2023 (UTC)

Компания рассматривает возможность производства трех своих продуктов P1, P2 и P3 в каждом из мест U1, U2 и U3.

При производстве каждого продукта образуется объем загрязнения в объеме 0,5, 2 и 1 см3, соответственно, на единицу произведенной продукции, независимо от местоположения.

В таблице показаны для каждого из мест:

удельный доход ($) от каждого продукта,
суточная производственная мощность (единиц).
дневная производственная мощность (единиц),
максимальные объемы загрязнения (см3),
штраф за превышение объема загрязнения ($/см3).

Компания, осознавая экологические проблемы, предлагает цели с порядком приоритетов:

Приоритет 1. Максимизировать ежедневный доход.
Приоритет 2. Не превышать максимальный уровень загрязнения местности.
Приоритет 3. Компания не хочет тратить более $9000 в день из-за превышения уровня загрязнения.

Давайте сформулируем модель, которая позволит нам определить, сколько ежедневных единиц каждого продукта должно быть произведено и в каком месте.

К задаче…

Долгосрочный план выработки электроэнергии учитывает график работы существующих энергоблоков и график установки новых электростанций для удовлетворения спроса на электроэнергию в течение ряда будущих (5) лет при минимально возможных затратах.

Период планирования; 5 лет

Потребность в электроэнергии описывается кривой продолжительности нагрузки (LDC), как показано на рис (цифры на картинке приблизительны, точные будут дальше текстом), по оси ординат — мегаватты, по оси абсцисс — часы.

Площадь под графиком соответствует потребностям производства электроэнергии в мегаватт-часах.

Чтобы модель была простой, например линейной, график аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, показанной в виде гистограммы (ступенчатой функции), с

«Bars=4».
TD — отсечки по горизонтали

 2920 3650 1280 910

Первый столбец обозначает минимальную нагрузку, столбец «4» — пиковую нагрузку, а два промежуточных — представляют потребность в средней нагрузке.

В любой компании или стране для производства электроэнергии используется несколько различных типов (n=5) технологий, таких как

паровые турбины
газовые турбины
гидроэлектростанции
дизель-генераторы
комбинированные генераторы

Эти энергоблоки требуют различных затрат, затрат на установку и переменных затрат, и переменная по времени генерации (что-то ломается, что-то амортизируется, что-то улучшается).

$CE_{it}, 1 \leq i \leq n$ ; — планируемые мощности существующих генерирующих типов по времени.

    15000 18000  20000  21000  21000
    40000 350000 300000 280000 280000 
    50000 400000 400000 400000 300000
    10000 100000 120000 130000 150000
     1000  11000 12000  14000  16000

$VC_{it}$ ; Переменная (на мегаватт) годовая стоимость старой установки типа «i»

Кроме того, в будущем могут быть добавлены дополнительные мощности.

Например, предположим, что модель решила установить новую установку типа «j=1» мощностью 50 МВт в период «1», она будет существовать в системе до истечения технического срока службы этой установки (Это потому, что продолжительность горизонта планирования, рассматриваемого в этой задаче, короче, чем технический срок службы любого нового энергоблока, доступного на рынке).

$FC_{jt}$ ; Фиксированная годовая стоимость новой установки типа «j»

    100 110 110 120 120
    200 200 200 200 200 
    300 290 290 285 285
    200 190 190 180 180
    50 50 50 50 50  ~

$FC_{jt}$ ; Фиксированная годовая стоимость новой установки типа «j»

!AF; 80 80 85 85 85

    85 85 85 85 85
    90 90 90 90 90
    90 90 95 95 95
    85 85 90 90 90~

!PD; 6000 6000 6000 6000 6000

    9000 10000 110000 12000 13000
    25000 27000 27000 27000 27000
    50000 58000 58000 58000 57000~

!W; 20 50 10 10 10~

Кроме того, они имеют разный технический срок службы и придерживаются разных правил технического обслуживания.

Задача планирования состоит в том, чтобы определить

график работы существующих установок,
установок нового поколения, которые будут запущены в будущем,
и график введения новых установок путем минимизации суммы затрат на установку и эксплуатацию за заданное количество

лет, соблюдая при этом технические и финансовые ограничения.

Как только будет добавлен новый энергоблок с заданной мощностью, этот энергоблок будет эксплуатироваться на протяжении всего горизонта планирования.

С другой стороны, администрация имеет предпочтение между различными типами технологий, то есть между различными генерирующими установками в случае новых установок.

Это предпочтение описывается процентным коэффициентом от минимума, который должен иметь каждый новый блок, по сравнению с общей энергией, установленной в новых блоках.

Пока не додумано, надо доработать

Задача зарезервирована: StasFomin 16:33, 27 ноября 2022 (UTC)

[ Хронологический вид ]Комментарии

(нет элементов)

Войдите, чтобы комментировать.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	1	0.5	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.8
2	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1	1	0	0
3	1	1	0	0	1	0	0.4	0.5	0.6	0.5
4	2	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	2	0.3	0.5
5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1	1	1	0.3	0
6	0.2	0.5	0.5	3	0	0	1	1	1	0.6
7	1	0.6	0.7	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.6
8	1	3	3	3	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1
9	0	1	1	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.1
10	0.5	1	0.3	0.2	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1
11	0.5	1	0.3	0.2	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	1	0.5	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.8
2	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1	1	0	0
3	1	1	0	0	1	0	0.4	0.5	0.6	0.5
4	2	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	2	0.3	0.5
5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1	1	1	0.3	0
6	0.2	0.5	0.5	3	0	0	1	1	1	0.6
7	1	0.6	0.7	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.6
8	1	3	3	3	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1
9	0	1	1	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.1
10	0.5	1	0.3	0.2	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1
11	0.5	1	0.3	0.2	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	1	0.5	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.8
2	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1	1	0	0
3	1	1	0	0	1	0	0.4	0.5	0.6	0.5
4	2	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	2	0.3	0.5
5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1	1	1	0.3	0
6	0.2	0.5	0.5	3	0	0	1	1	1	0.6
7	1	0.6	0.7	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.6
8	1	3	3	3	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1
9	0	1	1	0.5	0.5	1	0.3	0.2	0.4	0.1
10	0.5	1	0.3	0.2	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1
11	0.5	1	0.3	0.2	0.5	1	0.3	0.2	0.4	1