2001-gre-math.pdf/Q58

Вопрос: Q58-19def7

Пусть f — действительнозначная функция, определенная и непрерывная на множестве вещественных чисел. Какие из следующих утверждений о множестве S = {f(c) : 0 < c < 1} являются верными?

I

S — связное подмножество действительных чисел

II

S — открытое подмножество действительных чисел

III

S — ограниченное подмножество вещественных чисел

Ответы

• Только I
• Только I и II
• Правильный ответ: Только I и III
• Только II и III
• I, II и III

Объяснение

Исходники — вопрос 58 на 48 странице книги «2001-gre-math.pdf»

I

верно, следует из теоремы о промежуточном значении для непрерывной на отрезке функции.

II

неверно, например для f(x) = sin(x) множество S = [-1, 1] и является замкнутым.

III

верно, функция непрерывна на отрезке [0, 1], а значит достигает на нем своей верхней и нижней грани, а если функция ограничена на множестве, то будет ограничена и на его подмножестве.

[ Хронологический вид ]Комментарии

(нет элементов)

Войдите, чтобы комментировать.