Вероятность/Задачи/alice-bob-three-strange-dice — различия между версиями

Материал из DISCOPAL
Перейти к: навигация, поиск
(Массовая правка: добавление Категория:Теоретические задачи)
 
(не показано 17 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
−
Маркеева Лариса 973б
+
После обеда, Алиса и Боб решают, кому платить.
  
−
Рассмотрим все возможные варианты: <br />
+
Алиса достала из кармана три честные (все грани выпадают равновероятно), но нестандартные кости с следующими цифрами на гранях:
−
Пусть Боб выбрал кубик A(1, 1, 6, 6, 8, 8):
+
 
−
* Алиса выбирает B(2, 2, 4, 4, 9, 9). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
+
;A: 1, 1, 6, 6, 8, 8
−
<math>P_{win}=P(8)\cdot P(9) + P(6)\cdot P(9) + P(1)\cdot (P(2)+P(4)+P(9))=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3})=\dfrac{5}{9}</math><br />
+
;B: 2, 2, 4, 4, 9, 9
−
* Алиса выбирает C(3, 3, 5, 5, 7, 7). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
+
;C: 3, 3, 5, 5, 7, 7
−
<math>P_{win}=P(6)\cdot P(7) + P(1)(P(3)+P(5)+P(7))=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}) = \dfrac{4}{9}</math><br />
+
 
−
<br />
+
Правила игры просты:
−
Пусть Боб выбрал кубик B(2, 2, 4, 4, 9, 9):
+
* Участники берут по одной кости.
−
* Алиса выбирает A(1, 1, 6, 6, 8, 8). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
+
* Выбранные кости бросаются
−
<math>P_{win}= P(2)\cdot(P(6)+P(8)) + P(4)\cdot(P(6)+P(8)) = \dfrac{4}{9}</math><br />
+
* Проигравший — у кого цифра меньше (одинаковых быть не может), он и платит за обед.
−
* Алиса выбирает C(3, 3, 5, 5, 7, 7). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
+
 
−
<math>P_{win} = P(2)\cdot(P(3)+P(5)+P(7)) + P(4)\cdot(P(5)+P(7))=\dfrac{5}{9}</math> <br />
+
Алиса благородно представляет право выбора первой кости Бобу.
−
<br />
+
 
−
Пусть Боб выбрал кубик C(3, 3, 5, 5, 7, 7):
+
Покажите, что несмотря на это «благородство», что вероятность выигрыша Алисы больше ½.
−
* Алиса выбирает A(1, 1, 6, 6, 8, 8). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
+
 
−
<math>P_{win}=P(3)\cdot(P(6)+P(8)) + P(5)\cdot(P(6)+P(8)) + P(7)\cdot P(8)=\dfrac{5}{9}</math><br />
+
[[Категория:Решенные задачи]]
−
* Алиса выбирает B(2, 2, 4, 4, 9, 9). Тогда вероятность выигрыша Алисы:<br />
+
[[Категория:Теоретические задачи]]
−
<math>P_{win}=P(3)\cdot(P(4)+P(9)) + P(5)\cdot P(9) + P(7)\cdot P(9)=\dfrac{4}{9}</math><br />
+
−
<br />
+
−
Как мы видим, вне зависимости от того, какой кубик выберет Боб, Алиса всегда из двух оставшихся может выбрать такой кубик, что вероятность ее победы равна <math>\dfrac{5}{9} > \dfrac{1}{2}</math>.
+
−
[[Категория:На проверку]]
+

Текущая версия на 06:50, 4 мая 2023

После обеда, Алиса и Боб решают, кому платить.

Алиса достала из кармана три честные (все грани выпадают равновероятно), но нестандартные кости с следующими цифрами на гранях:

A
1, 1, 6, 6, 8, 8
B
2, 2, 4, 4, 9, 9
C
3, 3, 5, 5, 7, 7

Правила игры просты:

  • Участники берут по одной кости.
  • Выбранные кости бросаются
  • Проигравший — у кого цифра меньше (одинаковых быть не может), он и платит за обед.

Алиса благородно представляет право выбора первой кости Бобу.

Покажите, что несмотря на это «благородство», что вероятность выигрыша Алисы больше ½.

Источник — «https://discopal.ispras.ru/index.php?title=Вероятность/Задачи/alice-bob-three-strange-dice&oldid=25739»