2001-gre-math.pdf/Q28 — различия между версиями
Материал из DISCOPAL
StasFomin (обсуждение | вклад) (Новая страница: « == Вопрос: Q28-19def7 == <blockquote> Тут вставьте перевод вопроса. Используйте [https://wiki.4intra.net/Help:%D0%A4%D…») |
StasFomin (обсуждение | вклад) |
||
| (не показана 1 промежуточная версия 1 участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
== Вопрос: Q28-19def7 == | == Вопрос: Q28-19def7 == | ||
| − | < | + | Если <m>V_1</m> и <m>V_2</m> это 6-мерные подпространства линейного 10-мерного пространства <m>V</m>, то какова минимальная возможная размерность пространства <m>V_1 \cap V_2</m>? |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | < | + | |
| − | + | ||
| − | </ | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | </ | + | |
=== Ответы === | === Ответы === | ||
| − | |||
| − | |||
| − | * | + | * 0 |
| − | * | + | * 1 |
| − | * | + | * Правильный ответ: 2 |
| − | * | + | * 4 |
| − | * | + | * 6 |
| − | + | === Объяснение === | |
| − | + | {{cstest-source|2001-gre-math.pdf|28|28}} | |
| − | + | ||
| + | Воспользуемся формулой Грассмана: dim(<m>V_1 \cap V_2</m>) = dim(<m>V_1</m>) + dim(<m>V_2</m>) — dim(<m>V_1 + V_2</m>). | ||
| − | = | + | В нашем случае: dim(<m>V_1</m>) = 6 и dim(<m>V_2</m>) = 2 |
| − | < | + | |
| − | + | ||
| − | + | Оценим dim(<m>V_1 + V_2</m>). | |
| − | + | Очевидно, dim(<m>V_1 + V_2</m>) <m>\le dim(V)</m> = 10, так как 2 линейных подпространства не могут при сложении дать пространство, выходящее за рамки исходного. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | < | + | При это оценка достижима, выберем в качестве <m>V_1</m> = (<m>e_1</m>, <m>e_2</m> … <m>e_6</m>), а в качестве <m>V_2</m> = (<m>e_5</m>, <m>e_6</m> … <m>e_10</m>), где <m>e_i</m> — i-тый базисный вектор пространства V. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | </ | + | |
| − | + | Тогда получим, что dim(<m>V_1 \cap V_2</m>) <m>\le 2</m>. Причем оценка достижима. | |
| − | </ | + | |
| − | {{question-ok|}} | + | {{question-ok|[[Участник:StasFomin|StasFomin]] 10:18, 8 января 2025 (UTC)}} |
| − | [[ | + | [[Категория:Математика]] |
Текущая версия на 10:18, 8 января 2025
Вопрос: Q28-19def7
Если и это 6-мерные подпространства линейного 10-мерного пространства , то какова минимальная возможная размерность пространства ?
Ответы
- 0
- 1
- Правильный ответ: 2
- 4
- 6
Объяснение
Исходники — вопрос 28 на 28 странице книги «2001-gre-math.pdf»
Воспользуемся формулой Грассмана: dim() = dim() + dim() — dim().
В нашем случае: dim() = 6 и dim() = 2
Оценим dim().
Очевидно, dim() = 10, так как 2 линейных подпространства не могут при сложении дать пространство, выходящее за рамки исходного.
При это оценка достижима, выберем в качестве = (, … ), а в качестве = (, … ), где — i-тый базисный вектор пространства V.
Тогда получим, что dim() . Причем оценка достижима.