2001-gre-math.pdf/Q28 — различия между версиями
Материал из DISCOPAL
(→Вопрос: Q28-19def7) |
StasFomin (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
== Вопрос: Q28-19def7 == | == Вопрос: Q28-19def7 == | ||
| Строка 15: | Строка 14: | ||
{{cstest-source|2001-gre-math.pdf|28|28}} | {{cstest-source|2001-gre-math.pdf|28|28}} | ||
| − | Воспользуемся формулой Грассмана: dim(<m>V_1 \cap V_2</m>) = dim(<m>V_1</m>) + dim(<m>V_2</m>) | + | Воспользуемся формулой Грассмана: dim(<m>V_1 \cap V_2</m>) = dim(<m>V_1</m>) + dim(<m>V_2</m>) — dim(<m>V_1 + V_2</m>). |
В нашем случае: dim(<m>V_1</m>) = 6 и dim(<m>V_2</m>) = 2 | В нашем случае: dim(<m>V_1</m>) = 6 и dim(<m>V_2</m>) = 2 | ||
| Строка 21: | Строка 20: | ||
Оценим dim(<m>V_1 + V_2</m>). | Оценим dim(<m>V_1 + V_2</m>). | ||
| − | Очевидно, dim(<m>V_1 + V_2</m>) <m>\le dim(V)</m> = 10, | + | Очевидно, dim(<m>V_1 + V_2</m>) <m>\le dim(V)</m> = 10, так как 2 линейных подпространства не могут при сложении дать пространство, выходящее за рамки исходного. |
| − | При это оценка достижима, выберем в качестве <m>V_1</m> = (<m>e_1</m>, <m>e_2</m> | + | При это оценка достижима, выберем в качестве <m>V_1</m> = (<m>e_1</m>, <m>e_2</m> … <m>e_6</m>), а в качестве <m>V_2</m> = (<m>e_5</m>, <m>e_6</m> … <m>e_10</m>), где <m>e_i</m> — i-тый базисный вектор пространства V. |
Тогда получим, что dim(<m>V_1 \cap V_2</m>) <m>\le 2</m>. Причем оценка достижима. | Тогда получим, что dim(<m>V_1 \cap V_2</m>) <m>\le 2</m>. Причем оценка достижима. | ||
| − | {{ | + | {{question-ok|[[Участник:StasFomin|StasFomin]] 10:18, 8 января 2025 (UTC)}} |
| − | + | ||
| − | + | ||
[[Категория:Математика]] | [[Категория:Математика]] | ||
Текущая версия на 10:18, 8 января 2025
Вопрос: Q28-19def7
Если и это 6-мерные подпространства линейного 10-мерного пространства , то какова минимальная возможная размерность пространства ?
Ответы
- 0
- 1
- Правильный ответ: 2
- 4
- 6
Объяснение
Исходники — вопрос 28 на 28 странице книги «2001-gre-math.pdf»
Воспользуемся формулой Грассмана: dim() = dim() + dim() — dim().
В нашем случае: dim() = 6 и dim() = 2
Оценим dim().
Очевидно, dim() = 10, так как 2 линейных подпространства не могут при сложении дать пространство, выходящее за рамки исходного.
При это оценка достижима, выберем в качестве = (, … ), а в качестве = (, … ), где — i-тый базисный вектор пространства V.
Тогда получим, что dim() . Причем оценка достижима.