Тест по Computer Science — вопросы

Некоторый рандомизированный алгоритм A предназначен для определения, является ли данное положительное целое число n простым, путем генерации случайной битовой строки r и, основываясь на значениях n и r, путем вывода либо Yes (n является простым), либо No (n является составным)

Выполнение алгоритма А гарантирует следующее

• Если n — простое число, то результатом A всегда будет Yes
• Если n является составным, то существует вероятность p > 0, такое что результатом A будет No с вероятностью p и Yes с вероятностью 1 — p

На входе m алгоритм A выполняется k раз (k > 0) и генерирует случайную строку при i-м выполнении , где являются взаимно независимыми

Если m является составным, какова вероятность того, что в каждом из k различных вариантов выполнения результат A будет YES?

Задача о кратчайшем пути для всех пар может быть определена следующим образом

Input

Направленный граф , где

Стоимость для всех , где тогда и только тогда, когда

Definition

длина кратчайшего пути от до для всех

Если нет пути от до , то

Если для всех

Problem

Определить для всех

Алгоритм Флойда-Уоршалла дает решение динамического программирования для определения массива для и по следующим условиям

длина кратчайшего пути от до , для которого все промежуточные узлы на этом пути находятся в (где никакие промежуточные узлы не допускаются, если

Тогда

Алгоритм вычисляет используя рекуррентность по , где начальный шаг задается следующим образом

для и

для всех

Каково время работы алгоритма Флойда-Уоршалла ?

Пусть k — целое число, большее 1. Какое из следующих значений соответствует порядку возрастания выражения в зависимости от n?

Рассмотрим следующий псевдокод, где n — неотрицательное целое число

  x = 0;
  i = 0;
  while i < n do
    x = x + 2^i;
    i = i + 1;
  end

Что из приведенного ниже является инвариантом цикла для оператора while?

(Примечание: инвариант цикла для оператора while — это утверждение, которое верно каждый раз, когда сторожевое условие оценивается во время выполнения оператора while)

Выходные данные процедуры mystery зависят от используемого метода передачи параметров

  procedure mystery
    a : integer;
    b : integer;
    procedure enigma(x,y)
    begin
      y = y + b;
      x = b + x;
      b = x + b;
      a = y;
    end enigma;
  begin
    a = 2; b = 7;
    enigma(a,b);
    write(a); write(b);
  end mystery;

Предположим, что все параметры передаются по значению

Какие из следующих значений выводятся при вызове процедуры mystery?

Чтобы найти решение уравнения для полинома степени с производной , метод Ньютона делает итерации вида

начиная с некоторого начального значения , достаточно близкого к желаемому решению , чтобы обеспечить сходимость к для фиксированных значений и , что из приведенного ниже представляет порядок увеличения минимального числа итераций, необходимого для вычисления с точностью до бит как функции из ?

Пусть G = (V, E) — конечный ориентированный ациклический граф с

Что из следующего должно быть верным?

• У G есть вершина без входящего ребра
• G имеет вершину без исходящего ребра
• G имеет изолированную вершину, то есть вершину, не имеющe. ни входящего, ни исходящего ребра

Что из приведенного ниже представляет собой обратный (post-order) обход T?

Некоторый рандомизированный алгоритм A предназначен для определения, является ли данное положительное целое число n простым, путем генерации случайной битовой строки r и, основываясь на значениях n и r, путем вывода либо Yes (n является простым), либо No (n является составным)

Выполнение алгоритма А гарантирует следующее

• Если n — простое число, то результатом A всегда будет Yes
• Если n является составным, то существует вероятность p > 0, такое что результатом A будет No с вероятностью p и Yes с вероятностью 1 — p

На входе m алгоритм A выполняется k раз (k > 0) и генерирует случайную строку при i-м выполнении , где являются взаимно независимыми

Предположим, что в каждом из k различных вариантов выполнения результат A равен No. Какова вероятность того, что m является составным?

Пусть T — дерево поиска в глубину связного неориентированного графа G Для каждой вершины v из T пусть:

• prev(v) — количество посещенных узлов до v включительно во время обхода T по предварительному обходу, и
• prev(v) — количество посещенных узлов до v включительно во время обхода T после обхода

Наименьшим общим предком вершин u и v в T является вершина w из T, такая, что w является предком как u, так и v, и ни один дочерний элемент w не является предком, как u, так и v

Пусть (u, v) — ребро в G, которого нет в T, такое, что pre(u) < pre(v)

Какое из следующих утверждений относительно u и v должно быть истинным?

• post(u) < post(v)
• u является предком v в T
• Если w является наименьшим общим предком u и v в T, то w = u